理解半導體物理，是理解所有電子元件的根基。本章用「直觀＋必要數學」兼顧。

一、從導體、絕緣體到半導體

能帶理論回顧

固體中電子能量呈「能帶」結構： - 價帶（Valence Band）：價電子所在 - 導帶（Conduction Band）：自由電子所在 - 能隙（Band Gap, E_g）：價帶頂到導帶底的能量差

三類材料的能帶結構

導體 (Cu, Ag)         半導體 (Si, Ge)        絕緣體 (玻璃)

─導帶─               ─導帶─                    ─導帶─
══════                                    
─價帶─               (能隙 ~1 eV)            (能隙 ~6 eV)

──價帶──             ─價帶─                    ─價帶─

價/導帶重疊          需要小能量激發            幾乎無法激發

為什麼半導體特殊？

  • E_g 不大（< 3 eV），常溫下有少量電子被熱激發跨過
  • 透過「摻雜」可大幅改變導電性
  • 對「外加電場、光、溫度」反應靈敏 → 可控

二、矽（Silicon）的特性

為什麼是矽？

矽（Si）是現代半導體的主流。它的優勢：

  1. 地殼含量豐富（28%，僅次於氧）
  2. 能隙適中（1.12 eV）：常溫適合
  3. 能形成優良氧化層 SiO₂（CMOS 製程關鍵）
  4. 熱穩定性好（可工作到 150°C+）
  5. 製程成熟（70 年的累積）

矽的晶體結構

矽是「鑽石結構」（diamond cubic）：每個矽原子與 4 個鄰居共價鍵結合。

每個矽原子：原子序 14，外層有 4 個價電子。 4 個價電子全部用於共價鍵。

純矽（本質半導體）

純矽（intrinsic silicon）在絕對零度（0K）時所有價電子都在共價鍵中 → 不導電。

室溫（300K）時，部分共價鍵被熱激發斷裂： - 一個電子跳到導帶（自由電子） - 留下一個電洞（hole）在價帶

電子和電洞「成對產生」。

本質載子濃度（n_i）

純矽的電子或電洞濃度：

$$n_i \approx 1.5 \times 10^{10} \text{ cm}^{-3} \quad @ 300K$$

對比： - 銅原子密度：~ 10²² cm⁻³ - 銅自由電子：~ 10²² cm⁻³ - 純矽自由電子：1.5 × 10¹⁰ cm⁻³

→ 純矽的導電性只有銅的約 10⁻¹² 倍。

三、摻雜（Doping）

概念

加入「雜質原子」改變半導體的導電性。

N 型半導體

加入 5 價元素（如磷 P、砷 As）： - 5 個價電子中，4 個與矽形成共價鍵 - 多餘 1 個成為「自由電子」（少量能量就能跳到導帶）

→ 多數載子：電子 → 少數載子：電洞

P 型半導體

加入 3 價元素（如硼 B、鎵 Ga）： - 3 個價電子全用於共價鍵 - 缺 1 個共價鍵 → 形成「電洞」（接受電子）

→ 多數載子：電洞 → 少數載子：電子

摻雜濃度

典型摻雜： - 輕度（light）：10¹⁴–10¹⁶ cm⁻³ - 中度：10¹⁶–10¹⁸ cm⁻³ - 重度（high, n+ / p+）：> 10¹⁹ cm⁻³

參考：純矽原子密度 5 × 10²² cm⁻³。即使重度摻雜也只是「萬分之一」雜質比例，但完全改變半導體性質。

質量作用定律

熱平衡時：

$$n \cdot p = n_i^2$$

n：電子濃度，p：電洞濃度

→ 多數載子變多時，少數載子變少（保持乘積不變）。

四、載子的運動

兩種運動機制

1. 漂移（Drift）

外加電場時，載子定向移動：

$$v_{drift} = \mu \cdot E$$

  • µ：遷移率（mobility）
  • E：電場強度

電流密度：

$$J = q n \mu_n E + q p \mu_p E$$

矽的載子遷移率（300K, 低摻雜）

載子 µ
電子 1350 cm²/(V·s)
電洞 480 cm²/(V·s)

觀察：電子遷移率約是電洞的 2.8 倍。 這就是為什麼 NMOS 比 PMOS 快、為什麼 IC 設計常常 PMOS 寬度做 2–3 倍。

2. 擴散（Diffusion）

載子從濃度高處往濃度低處流動（即使無電場）：

$$J_{diff,n} = q D_n \frac{dn}{dx}$$

D：擴散係數，與遷移率有「愛因斯坦關係」：

$$D = \mu \cdot V_T$$

其中 V_T = kT/q ≈ 25.85 mV @ 300K。

載子的產生與復合

在熱平衡或非平衡狀態下： - 產生（generation）：能量激發產生 e-h 對 - 復合（recombination）：電子與電洞結合消失

不同機制： - 直接複合：常見於直接能隙半導體（GaAs，發光） - 間接複合（Shockley-Read-Hall）：透過缺陷能階，矽用此機制

少數載子壽命（lifetime）： - 矽：µs–ms 級 - 直接能隙半導體：ns 級

五、半導體中的常數

重要常數

名稱 符號 值（300K）
電子電荷 q, e 1.602 × 10⁻¹⁹ C
波茲曼常數 k_B 1.381 × 10⁻²³ J/K
熱電壓 V_T = kT/q 25.85 mV
矽介電常數 ε_si 11.7 × ε₀
SiO₂ 介電常數 ε_ox 3.9 × ε₀
矽能隙 E_g 1.12 eV
矽 n_i n_i 1.5 × 10¹⁰ cm⁻³

不同半導體比較

材料 E_g (eV) µ_n µ_p 用途
Si 1.12 1350 480 通用
Ge 0.66 3900 1900 早期、紅外感測
GaAs 1.43 8500 400 高頻、LED
InP 1.34 5400 200 光電
GaN 3.4 2000 200 高壓、藍 LED
SiC 3.26 900 100 高壓、高溫
4H-SiC 3.26 900 100 電力電子

六、能帶圖（Energy Band Diagram）

繪製半導體中能量隨位置變化：

能量
  │
  │  ─── 真空能階 (E_vac)
  │       │
  │       │ q×功函數 (work function, q×Φ)
  │       │
  │  ─── E_C （導帶底）
  │       │
  │       │ E_g
  │       │
  │  ─── E_V （價帶頂）
  │
  └────────────► 位置

費米能階（Fermi Level, E_F）

電子能量分佈的「化學位」。

  • N 型：E_F 靠近 E_C
  • P 型：E_F 靠近 E_V
  • 本質：E_F 在能隙中央附近

費米-狄拉克分佈：

$$f(E) = \frac{1}{1 + e^{(E-E_F)/kT}}$$

熱平衡時，整個系統的 E_F 是常數。

能帶彎曲

當兩種半導體相接（PN 接面）或加電場時，能帶會「彎曲」：

P 型              N 型
  ─               ──── E_C
                 (彎曲)
  ─── E_F ──── E_F
  ────
   ───── E_V
       (彎曲)
                 ──

這是分析 PN 接面、MOSFET 工作原理的核心工具。

七、缺陷與雜質

點缺陷

  • 空缺位（vacancy）
  • 間隙原子（interstitial）
  • 替代雜質（substitutional impurity）

缺陷會引入「深層能階」，影響載子壽命。

線缺陷

  • 位錯（dislocation）

面缺陷

  • 晶界（grain boundary）
  • 介面（interface，如 Si/SiO₂）

高品質單晶矽的目標：缺陷密度 < 1 cm⁻²。

八、半導體的電性

導電率

$$\sigma = q (n \mu_n + p \mu_p)$$

電阻率：

$$\rho = \frac{1}{\sigma}$$

範例

純矽（300K）：n = p = n_i = 1.5×10¹⁰ cm⁻³ σ = 1.6×10⁻¹⁹ × (1.5e10 × 1350 + 1.5e10 × 480) ≈ 4.4 × 10⁻⁶ S/cm ρ ≈ 2.3 × 10⁵ Ω·cm

摻雜 N_D = 10¹⁵ cm⁻³ 的 N 型矽： n ≈ N_D = 10¹⁵ σ = 1.6×10⁻¹⁹ × 10¹⁵ × 1350 ≈ 0.216 S/cm ρ ≈ 4.6 Ω·cm

→ 摻雜 5 個量級，電阻率降低 5 個量級。

九、溫度的影響

載子濃度

高溫時： - 熱激發更多 e-h 對 - 雜質離子化（如低溫時磷的電子可能未完全離化） - 進入「本質溫度區」時 n_i 主導，無法再用摻雜控制

矽元件工作溫度上限：~ 175°C（軍規）、~ 125°C（汽車）、85°C（消費）。

遷移率

高溫時： - 晶格振動加強 - 載子散射增多 - 遷移率下降

結論

高溫對半導體不利： - 漏電流增加 - 增益下降 - 切換速度變慢 - 過高 → 熱失控 → 永久損壞

十、寬能隙半導體（WBG）

為何需要 WBG？

矽的限制： - 高溫工作有限 - 高壓元件做不薄 - 高頻時損耗大

寬能隙材料（E_g > 2 eV）：

材料 E_g 優勢
SiC（4H） 3.26 eV 高壓、高溫、低損耗
GaN 3.4 eV 高頻、低 R_DS(on)
Ga₂O₃ 4.8 eV 超高壓
鑽石 5.5 eV 終極材料（製造困難）

應用

  • SiC：電動車逆變器、太陽能、工業電源
  • GaN：手機快充、5G、Data Center 電源

業界趨勢：「Si → SiC/GaN」是電力電子的革命。

十一、本章總結

✅ 您應該掌握：

  • [x] 能帶理論：價帶、導帶、能隙
  • [x] 矽的優勢與晶體結構
  • [x] 摻雜：N 型（電子多數）、P 型（電洞多數）
  • [x] 質量作用定律 n·p = n_i²
  • [x] 載子的漂移與擴散
  • [x] 遷移率：電子比電洞快
  • [x] 費米能階、能帶圖
  • [x] 溫度對半導體的影響
  • [x] 寬能隙半導體（SiC、GaN）的優勢

自我檢測

  1. 為什麼純矽常溫下幾乎不導電？
  2. N 型半導體中，多數載子和少數載子分別是？
  3. 電子遷移率比電洞快多少倍（矽）？這對 IC 設計有何影響？
  4. 摻雜濃度 10¹⁶ 的 N 型矽，少數載子（電洞）濃度約多少？
  5. SiC 比 Si 適合用於什麼應用？

解答

  1. 自由載子濃度極低（n_i ≈ 10¹⁰ cm⁻³），導電率比銅低 12 個數量級
  2. 多數：電子；少數：電洞
  3. 約 2.8 倍。NMOS 比 PMOS 速度快，IC 設計常將 PMOS 做 2–3 倍寬以平衡
  4. p = n_i²/n = (1.5×10¹⁰)² / 10¹⁶ = 2.25×10⁴ cm⁻³（極少）
  5. 高壓（kV 級）、高溫、高頻、高效率應用，如電動車、工業電源

下一章

02-PN接面.md — 半導體最重要的結構。