第 3 章 3：濾波器設計

濾波器（Filter）是訊號處理的核心：選頻、去雜訊、訊號分離。

一、濾波器的分類

依頻域行為

LP（低通）        HP（高通）        BP（帶通）        BS（帶阻）
    ▌▌▌                ▌▌▌            ▌▌▌                ▌  ▌
─────                  ─────         ─────              ─────  ─
頻率                    頻率           頻率                頻率

類型	行為
LPF（低通）	通過低頻，阻擋高頻
HPF（高通）	通過高頻，阻擋低頻
BPF（帶通）	只通過特定頻段
BSF（帶阻 / Notch）	阻擋特定頻段
AP（全通）	改變相位但不改變幅度

依實現方式

被動（Passive）：純 R, L, C
主動（Active）：含 OPAMP，可放大
數位（Digital）：FIR、IIR
開關電容（Switched Capacitor）：MOS 電路

依數學特性

Butterworth：通帶平坦
Chebyshev：通帶或阻帶有漣波，過渡更陡
Bessel：相位線性，群延遲平坦
Elliptic（Cauer）：通帶與阻帶都有漣波，最陡過渡

二、被動 RC / RL 濾波器

一階 RC 低通

   Vin─[R]──┬──── Vout
            │
           [C]
            │
           GND

轉移函數：

$$H(s) = \frac{1}{1 + sRC}$$

截止頻率：

$$f_c = \frac{1}{2\pi RC}$$

衰減：通帶後每 dec 衰減 20 dB（一階）。

一階 RC 高通

電容串聯：

   Vin─[C]──┬──── Vout
            │
           [R]
            │
           GND

$$H(s) = \frac{sRC}{1 + sRC}$$

LC 濾波器

LC 濾波器衰減更陡（二階），但有電感成本。

LC 低通：

$$f_c = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

LC 帶通：

LC 並聯諧振電路。

為什麼用 LC？

高頻電源濾波（電感擋高頻、電容旁路高頻）
EMI 抑制
射頻匹配

三、主動濾波器（Active Filter）

OPAMP + RC，無需電感。低頻（< 100 kHz）首選，高頻時 OPAMP 限制顯現。

Sallen-Key 拓撲

最常用的二階濾波器：

                    R1     R2
   Vin────────[==]──┬─[==]──┬─── + ╲
                    │       │       ├──── Vout
                   [C1]    [C2]    ─╱
                    │       │
                   GND     ─┘
                            │
                          ┌──┘ (回授)

二階低通的 -3dB 頻率：

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}$$

Q 因子由 R, C 比例決定。

Multiple Feedback (MFB) 拓撲

另一種二階拓撲，反相，更易實現高 Q。

State-Variable Filter

3 個 OPAMP，同時提供 LP / HP / BP 三個輸出，Q 與 f 可分開調整。

四、Butterworth 濾波器設計

特性

通帶最大平坦
阻帶單調下降
計算容易

二階 Butterworth LP（Sallen-Key）

設 R1 = R2 = R, C1 = C2 = C：

$$f_c = \frac{1}{2\pi RC}$$

Q = 0.707 → 對應 Butterworth 響應。

步驟

決定截止頻率 f_c
決定階數 N（每階 -20 dB/dec）
選 R（10 k 級）
計算 C：C = 1 / (2π f_c R)
用查表決定每階的 Q 值

範例：4 階 Butterworth LPF（音訊抗混疊濾波器）

f_c = 20 kHz，4 階：

兩個 2 階 Sallen-Key 級聯： - 第 1 級：Q = 0.541 - 第 2 級：Q = 1.307

每階用查表設計。

五、Chebyshev 與 Elliptic

Chebyshev I

通帶有等漣波（ripple，0.1 dB ~ 3 dB 可選），阻帶單調。過渡比 Butterworth 陡。

Chebyshev II（Inverse）

通帶平坦，阻帶有等漣波。

Elliptic（Cauer）

通帶與阻帶都有漣波，但同階下過渡最陡。缺點：相位非線性。

比較表（同 4 階，f_c = 1）

類型	過渡	通帶平坦	相位	用途
Butterworth	中	最平	中	通用
Chebyshev	陡	漣波	較差	嚴格阻帶
Elliptic	最陡	漣波	差	最嚴格
Bessel	緩	平	線性	訊號保真

六、開關電容濾波器

原理

用「開關 + 電容」模擬電阻：

$$R_{eq} = \frac{1}{f_{clk} \cdot C}$$

優點

f_c 可由 clock 控制
全部用 CMOS 實現（IC 內部）
精度高

缺點

需要時鐘
clock feed-through 雜訊
取樣頻率限制

經典 IC

MAX291 / MAX295：8 階 Butterworth/Bessel LPF
MAX7400：8 階 Elliptic
LTC1063：5 階 Bessel

七、數位濾波器

FIR（有限脈衝響應）

全為前向係數（不依賴前次輸出）
必穩定
線性相位（係數對稱）
階數高（運算量大）

IIR（無限脈衝響應）

含回授
階數低（運算量小）
可能不穩定（量化誤差）
相位非線性

設計工具

MATLAB / Octave
Python scipy.signal
線上工具（如 Iowa Hills）

應用

DSP 處理器
FPGA 內部
軟體定義無線電（SDR）
音訊處理

八、實際應用範例

1. ADC 抗混疊濾波器（Anti-aliasing Filter）

ADC 採樣率 f_s = 1 MS/s Nyquist 頻率 = 500 kHz 任何高於 500 kHz 的訊號會「混疊」(alias) 到低頻

→ 在 ADC 前加一個 LPF，f_c ≈ 200–400 kHz。

選 4–6 階 Butterworth Sallen-Key。

2. ADC 後重建濾波器（Reconstruction Filter）

DAC 輸出階梯狀，需要平滑： - LPF 移除取樣頻率與其諧波 - 通常用一階 RC 即可

3. 音訊系統的高頻 / 低頻分頻網路（Crossover）

低頻喇叭只接低頻，高頻喇叭只接高頻：

      LPF ──→ Woofer
     ╱
入───┤
     ╲
      HPF ──→ Tweeter

被動分頻：用 LC 元件主動分頻：用 OPAMP（電子分音）

4. EMI 濾波器

電源輸入端的 LC 濾波器抑制傳導 EMI：

   AC ──[L]──┬──── 設備
              │
            [Y Cap]
              │
             GND（機殼）

通常結合共模 + 差模濾波。

5. 50/60 Hz Notch Filter

從生醫訊號（ECG、EEG）中濾除電力線干擾：

雙 T notch 或主動 BSF，f_0 = 60 Hz, Q = 30。

九、濾波器選用建議

應用	推薦
音響高保真	Bessel 或 Butterworth（相位重要）
ADC 抗混疊	Butterworth 或 Chebyshev
通訊選頻	Chebyshev 或 Elliptic（陡斜率）
電源 EMI	LC 濾波器
數位訊號處理	FIR（線性相位）或 IIR（效率）

十、本章總結

✅ 您應該掌握：

[x] LPF/HPF/BPF/BSF 四大類
[x] 被動 RC, LC 濾波器
[x] 主動濾波器（Sallen-Key, MFB）
[x] Butterworth/Chebyshev/Elliptic/Bessel 取捨
[x] 開關電容與數位濾波器
[x] 實際應用：抗混疊、分頻、EMI、Notch

04-振盪器.md — 振盪器與時鐘源。