本章整理電路分析的「核心定律」與「重要定理」，是進入中級電路設計的必備工具。

一、克希荷夫定律（Kirchhoff's Laws）

KCL（電流定律 Kirchhoff's Current Law）

任何節點的電流代數和為零：

$$\sum_{k} I_k = 0$$

或更直觀：

$$\sum I_{流入} = \sum I_{流出}$$

物理本質：電荷守恆（節點不會「儲存」電荷）。

KVL（電壓定律 Kirchhoff's Voltage Law）

沿任何封閉迴路的電壓代數和為零：

$$\sum_{k} V_k = 0$$

物理本質：能量守恆（沿封閉路徑回到同一點，電位差為零）。

KCL/KVL 應用範例

        R1=2Ω      R2=4Ω
     ┌──[==]──┬──[==]──┐
     │        │         │
  [V1=10V] [R3=6Ω]  [V2=4V]
     │        │         │
     └────────┴─────────┘

用 mesh analysis（迴路法）：

設左迴路電流 I1（順時針），右迴路電流 I2（順時針）。

左迴路 KVL：

$$10 - 2 I_1 - 6 (I_1 - I_2) = 0$$

$$8 I_1 - 6 I_2 = 10 \quad \cdots (1)$$

右迴路 KVL：

$$-6 (I_2 - I_1) - 4 I_2 - 4 = 0$$

$$6 I_1 - 10 I_2 = 4 \quad \cdots (2)$$

解： - 從(1)：8 I1 - 6 I2 = 10 - 從(2)：6 I1 - 10 I2 = 4

(1)×3 - (2)×4：24 I1 - 18 I2 - 24 I1 + 40 I2 = 30 - 16 → 22 I2 = 14 → I2 ≈ 0.636 A

代回(1)：8 I1 = 10 + 6×0.636 = 13.82 → I1 ≈ 1.728 A

二、節點分析法（Node Analysis）

選一個節點為參考（接地），對其他節點寫 KCL：

        R1=2Ω      R2=4Ω
     ┌──[==]──┬A──[==]──┐
     │        │         │
  [V1=10V] [R3=6Ω]  [V2=4V]
     │        │         │
     └────────┴─────────┘ (GND)

設節點 A 電壓 V_A：

KCL @ A：

$$\frac{V_A - 10}{2} + \frac{V_A}{6} + \frac{V_A - 4}{4} = 0$$

通分（分母 12）：

$$6(V_A - 10) + 2 V_A + 3(V_A - 4) = 0$$ $$11 V_A = 60 + 12 = 72$$ $$V_A ≈ 6.55 \text{ V}$$

節點分析常常比迴路分析快，特別是節點少的電路。

三、戴維寧定理（Thévenin's Theorem）

任何線性電路（含獨立源、相依源）對外可等效為一個電壓源 V_TH 串聯一個電阻 R_TH。

     線性電路             戴維寧等效
   ┌─────────┐          ┌──[R_TH]──┐
   │   ...   │ A        │           │ A
   │         ├──   →    │           ├──
   │   ...   │ B   →    │  [V_TH]   │
   │         │          │           │ B
   └─────────┘          └───────────┘

求 V_TH（開路電壓）

把外部負載斷開，量 A-B 之間的開路電壓 = V_TH。

求 R_TH（戴維寧電阻）

方法 1：把所有獨立源「殺掉」（電壓源短路、電流源開路），從 A-B 看入的電阻 = R_TH。

方法 2：求短路電流 I_SC，則 R_TH = V_TH / I_SC。

範例

   V1=12V    R1=4Ω
   ──┤├────[==]────┬── A
                    │
                  [R2=6Ω]
                    │
   ────────────────┴── B

V_TH（A-B 開路）：

無電流通過 R1，V_AB = R2 兩端電壓 = 12 × 6/(4+6) = 7.2 V → V_TH = 7.2 V

R_TH（V1 短路）：

R1 與 R2 並聯：4×6/(4+6) = 2.4 Ω → R_TH = 2.4 Ω

四、諾頓定理（Norton's Theorem）

任何線性電路對外可等效為一個電流源 I_N 並聯一個電阻 R_N。

   ┌──────┐           ┌─────┐
   │      │ A         │     │ A
   │      ├──   →    [I_N] │
   │      │ B   →     │    [R_N]
   │      │           │     │ B
   └──────┘           └─────┘

關係： - I_N = V_TH / R_TH - R_N = R_TH

戴維寧 ↔ 諾頓 互相轉換。

五、重疊定理（Superposition Theorem）

線性電路中，多個獨立源的響應 = 各源單獨作用響應的總和。

只能用於線性元件（電阻、電容、電感、線性 controlled source）。 不適用於非線性（二極體、電晶體大信號）。

步驟

  1. 對每個獨立源逐個保留，其他殺掉（V→短路, I→開路）
  2. 計算該源單獨作用下的響應
  3. 全部加總

範例

   V1=10V    R1=2Ω      R2=4Ω
   ──┤├────[==]────┬───[==]── ──┤├──── V2=4V
                    │
                  [R3=6Ω]
                    │
   ─────────────────┴─────────────────

V1 單獨作用（V2 短路）：

R2 || R3 = 24/10 = 2.4 Ω 總電阻 = R1 + 2.4 = 4.4 Ω I_R1 = 10/4.4 = 2.27 A V_A1 = I_R1 × 2.4 = 5.45 V

V2 單獨作用（V1 短路）：

R1 || R3 = 12/8 = 1.5 Ω 總電阻 = R2 + 1.5 = 5.5 Ω I_R2 = 4/5.5 = 0.727 A V_A2 = I_R2 × 1.5 = 1.09 V

總和：V_A = V_A1 + V_A2 = 5.45 + 1.09 = 6.54 V ✓ 與前面節點分析結果相符

六、最大功率傳輸定理

負載 R_L 上消耗最大功率時，R_L = R_TH（戴維寧電阻）。

最大功率：

$$P_{max} = \frac{V_{TH}^2}{4 R_{TH}}$$

效率僅 50%（V_TH 一半在 R_TH 上消耗）。

注意：這只在 訊號傳輸（如音響、射頻） 時用，電源供電 反而要 R_L >> R_TH 提高效率。

七、戴維寧/諾頓的實務意義

任何複雜電路從一對端點看出去，都可以用一個電壓源（或電流源）+ 電阻代表。

這就是為什麼「電源輸出電阻」、「輸入阻抗」這些概念這麼重要： - 電池：理想電壓源 + 內阻 - LDO 輸出：戴維寧等效 - BJT 集極：諾頓等效（高阻抗電流源）

八、電容、電感的暫態分析

一階電路：RC、RL

時間常數： - RC：τ = R × C - RL：τ = L / R

充電（從 V_initial 到 V_final）：

$$v(t) = V_{final} + (V_{initial} - V_{final}) e^{-t/\tau}$$

放電（從 V_initial 到 0）：

$$v(t) = V_{initial} \cdot e^{-t/\tau}$$

二階電路：RLC

特徵方程式：

$$L \frac{d^2 i}{dt^2} + R \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} i = 0$$

→ 解的形式：e^(s·t)，其中 s 是特徵根：

$$s = -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2 - \frac{1}{LC}}$$

三種響應類型

定義阻尼比 ζ（zeta）：

$$\zeta = \frac{R}{2} \sqrt{\frac{C}{L}}$$

ζ 類型 行為
ζ > 1 過阻尼（Overdamped） 緩慢回到穩態，無震盪
ζ = 1 臨界阻尼（Critically Damped） 最快達到穩態
ζ < 1 欠阻尼（Underdamped） 震盪後達到穩態
ζ = 0 無阻尼（Undamped） 永久震盪（純 LC）

控制系統設計常追求 ζ ≈ 0.7（小過衝、快速）。

九、相量分析（AC 穩態）

正弦穩態下用相量分析最方便。

阻抗

元件 阻抗
電阻 R Z_R = R
電容 C Z_C = 1/(jωC) = -j/(ωC)
電感 L Z_L = jωL

範例：RLC 串聯諧振

$$Z = R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C} = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$$

當虛部為零時：

$$\omega L = \frac{1}{\omega C} \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

這就是「諧振頻率」。

品質因數（Quality Factor）

$$Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$

Q 越大，諧振峰越尖銳（選頻能力越強）。

十、Bode 圖與頻率響應

轉移函數 H(jω)

$$H(j\omega) = \frac{V_{out}}{V_{in}}$$

兩個重要量： - 大小（Magnitude）：|H(jω)|，常用 dB 表示：20 log₁₀|H| - 相位（Phase）：∠H(jω)，弧度或度

Bode 圖規則

  • X 軸：log(ω)
  • Y 軸（大小）：dB
  • Y 軸（相位）：度

一階低通範例（RC 濾波）

$$H = \frac{1}{1 + j\omega RC}$$

  • 截止頻率（-3dB）：f_c = 1/(2πRC)
  • 低於 f_c：增益 = 1（0 dB）
  • 高於 f_c：每十倍頻率衰減 20 dB

一階高通

$$H = \frac{j\omega RC}{1 + j\omega RC}$$

低於 f_c 衰減，高於 f_c 通過。

十一、二端口網路

複雜電路可看作「二端口」：

   ┌─────────┐
─→─┤         ├─→─
   │         │
←─┤         ├─←─
   └─────────┘

四個基本參數系列： - z 參數（阻抗矩陣） - y 參數（導納矩陣） - h 參數（混合，BJT 常用） - S 參數（散射，射頻必用）

不需現在精通，但要知道存在。

十二、常見電路定理彙整

定理 適用 用途
KCL/KVL 任何電路 基本分析
節點/迴路法 任何電路 系統化解題
戴維寧 / 諾頓 線性電路 簡化等效
重疊定理 線性電路 多源簡化
替代定理 任何 已知量替代
互易定理 線性無源 對稱性
最大功率傳輸 戴維寧後 阻抗匹配
米勒定理 含 controlled source 簡化高頻分析

十三、實務技巧

1. 「先粗估，再精算」

設計前用 estimation： - 戴維寧化看大概電壓電流 - 假設理想元件 - 一位有效數字計算

精度需求高時再用 SPICE 模擬。

2. 「拆解大電路」

大電路 → 拆成幾個功能塊： - 電源 - 訊號路徑 - 反饋 - 保護

各自分析後再合併。

3. 「直流分析 + AC 分析」分開

  • DC：求工作點（IC 偏壓）
  • AC：求小信號響應、增益、頻寬

兩者不互相影響（線性近似下）。

4. 「用 SPICE 驗證」

LTspice、ngspice 免費，可驗證手算結果，避免低級錯誤。

十四、本章總結

✅ 您應該掌握：

  • [x] KCL、KVL 的物理意義與應用
  • [x] 節點分析、迴路分析
  • [x] 戴維寧、諾頓定理
  • [x] 重疊定理（線性電路）
  • [x] 最大功率傳輸
  • [x] RC、RL 暫態，時間常數
  • [x] RLC 二階電路與阻尼類型
  • [x] 相量分析、阻抗、諧振
  • [x] Bode 圖基本概念

自我檢測

  1. 戴維寧定理求 R_TH 時為何要把獨立源殺掉？
  2. RC = 100 µs 的電路，5τ 是多久？此時電壓接近最終值多少 %？
  3. RLC 中要避免「永久震盪」，需要什麼條件？
  4. 100 nF + 100 µH 諧振頻率多少？
  5. 一階 RC 低通在截止頻率時的增益（dB）多少？

解答

  1. R_TH 是「網路本身的阻抗」，與源無關。殺掉獨立源後從端點看入的電阻就是 R_TH
  2. 5τ = 500 µs；達到 99.3%（視為穩態）
  3. R > 0（有阻尼），即電路必須消耗能量
  4. f₀ = 1/(2π√LC) = 1/(2π × √(10⁻⁷ × 10⁻⁴)) ≈ 50.3 kHz
  5. -3 dB（即 1/√2 ≈ 0.707）

基礎篇結束

恭喜！您完成了基礎篇。接下來建議：