說出每個常見分布背後的「故事」，面對實際情境能選出合適的分布並說明理由。
寫出白努利、二項、幾何、卜瓦松、均勻、指數、常態、Beta 等分布的 PMF／PDF，推導代表性的均值與變異數，並運用無記憶性與 \(z\) 分數進行計算。
解釋高斯分布無所不在的三大理由（中央極限定理、最大熵、解析便利），並熟練使用 68–95–99.7 法則。
描繪分布之間的關係網：相加、取極限、離散對應連續、共軛先驗。
用 scipy.stats 查詢 PMF／PDF／CDF，並以模擬驗證理論計算。
分布＝故事。每個常見分布都是對某一類隨機情境的「標準答案」：白努利＝一次是／否試驗、二項＝固定次數中的成功數、幾何＝等到第一次成功、卜瓦松＝罕見事件的計數、指數＝連續的等待、高斯＝許多微小效應之和。選分布不是背公式，而是認故事：先問「資料是由哪種隨機機制產生的？」，答案自然指向正確的分布——在機器學習中，這個選擇將進一步決定你的損失函數（第 7 章）。
第 3 章教我們用機率質量函數（PMF）描述離散隨機變數；本節的五位主角共用同一個基本零件——白努利試驗——並依「問什麼問題」而分化：問成功幾次是二項、問等多久是幾何、把試驗切到無窮細是卜瓦松、把兩類推廣成 \(K\) 類是類別分布。
白努利分布：一次是／否試驗
一切從最簡單的隨機試驗開始：只有兩種結果的單次試驗——正面或反面、點擊或不點擊、垃圾郵件或正常郵件。慣例上把我們關心的結果編碼為 \(1\)（成功）、另一個編碼為 \(0\)（失敗），唯一的參數是成功機率 \(p\)。
若隨機變數 \(X\) 只取兩個值，\(\Prob(X=1) = p\)（成功）、\(\Prob(X=0) = 1-p\)（失敗），則稱 \(X\) 服從參數為 \(p\) 的白努利分布（Bernoulli distribution），記作 \(X \sim \mathrm{Ber}(p)\)。其 PMF 可寫成一條式子： \[\Prob(X = k) = p^{k} (1-p)^{1-k}, \qquad k \in \{0, 1\}.\] 均值與變異數： \[\E[X] = p, \qquad \Var(X) = p(1-p).\]
推導只需兩行：\(\E[X] = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p\)；又因 \(X\) 只取 0 與 1，有 \(X^{2} = X\)，故 \(\E[X^{2}] = p\)，\(\Var(X) = p - p^{2} = p(1-p)\)。注意變異數在 \(p = 1/2\) 時最大——五五波是最難預測的局面；\(p\) 靠近 0 或 1 時變異數趨近 0，結果幾乎確定。
白努利是二元分類的原子：訓練集中一筆有標籤的資料（這封郵件是否為垃圾郵件）就是一次白努利結果，而 logistic 迴歸或神經網路輸出的 \(\hat{p}\)，正是對白努利參數的估計。它也是本章所有離散分布的積木：接下來的二項、幾何、卜瓦松，都是把白努利試驗以不同方式組裝的結果。
二項分布：固定次數試驗中的成功數
把同一枚硬幣獨立地擲 \(n\) 次，數一數成功幾次——這就是二項分布的全部故事。關鍵字有二：固定的試驗次數 \(n\)，以及每次相同且獨立的成功率 \(p\)。
獨立重複成功率為 \(p\) 的白努利試驗 \(n\) 次，令 \(X\) 為成功總次數，則 \(X\) 服從二項分布（binomial distribution），記 \(X \sim \mathrm{Bin}(n, p)\)，其 PMF 為 \[\Prob(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}, \qquad k = 0, 1, \dots, n.\]
公式拆成兩塊來讀：\(p^{k}(1-p)^{n-k}\) 是「某一種特定順序恰好 \(k\) 次成功、\(n-k\) 次失敗」的機率（獨立相乘）；\(\binom{n}{k}\) 數的是這 \(k\) 次成功可以落在哪些位置（第 1 章的組合）。由二項式定理，\(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} = \bigl(p + (1-p)\bigr)^{n} = 1\)，機率確實加總為 1——「二項」之名正是這麼來的。
若 \(X \sim \mathrm{Bin}(n, p)\)，則 \[\E[X] = np, \qquad \Var(X) = np(1-p).\]
證明把 \(X\) 拆成指示變數之和 \(X = X_1 + \cdots + X_n\)，其中 \(X_i \sim \mathrm{Ber}(p)\) 表示第 \(i\) 次是否成功。由期望值的線性性（第 3 章，不需要獨立性），\(\E[X] = \sum_{i} \E[X_i] = np\)；由獨立性，變異數可加（第 3 章），\(\Var(X) = \sum_{i} \Var(X_i) = np(1-p)\)。\(\blacksquare\)
「拆成指示變數」的手法比結果本身更值得學——它把看似要硬算的級數化成一行。練習 4.6 請你重走一遍，並想清楚哪一步需要獨立性、哪一步不需要。
某生產線的瑕疵率為 \(5\%\)。品管人員隨機抽驗 20 件產品（視為獨立），令 \(X\) 為其中的瑕疵品數。求 (a) 完全沒有瑕疵品的機率；(b) 至多一件瑕疵品的機率；(c) \(X\) 的均值與標準差。
\(X \sim \mathrm{Bin}(20, 0.05)\)。
(a) \(\Prob(X = 0) = (0.95)^{20} \approx 0.3585\)。
(b) \(\Prob(X = 1) = \binom{20}{1} (0.05) (0.95)^{19} = (0.95)^{19} \approx 0.3774\)，故 \(\Prob(X \le 1) \approx 0.3585 + 0.3774 = 0.7358\)。
(c) \(\E[X] = 20 \times 0.05 = 1\)，\(\Var(X) = 20 \times 0.05 \times 0.95 = 0.95\)，標準差 \(\sqrt{0.95} \approx 0.97\)。
順帶注意：瑕疵率僅 \(5\%\)，但「至少中一件」的機率高達 \(1 - 0.3585 = 0.6415\)——罕見事件重複夠多次就不再罕見，這個直覺在 4.1.4 小節會長成卜瓦松分布。
二項是機器學習裡「數成功」的通用模型：\(n\) 位訪客中的轉換數、\(n\) 筆預測中的答對數、\(n\) 件產品中的瑕疵數。特別地，模型在 \(n\) 筆測試資料上答對的題數就是 \(\mathrm{Bin}(n, \text{準確率})\)——第 8 章將據此替準確率掛上誤差棒。
幾何分布：等到第一次成功
同一台白努利機器，換一個問題：不固定試驗次數，而是一直試到成功為止，問第一次成功發生在第幾次——「離散版的等待時間」。
獨立重複成功率為 \(p\) 的白努利試驗，令 \(X\) 為第一次成功發生時的試驗次數，則 \(X\) 服從幾何分布（geometric distribution），記 \(X \sim \mathrm{Geom}(p)\)： \[\Prob(X = k) = (1-p)^{k-1} p, \qquad k = 1, 2, 3, \dots\] 尾機率為 \(\Prob(X > k) = (1-p)^{k}\)（前 \(k\) 次全部失敗）。均值與變異數： \[\E[X] = \frac{1}{p}, \qquad \Var(X) = \frac{1-p}{p^{2}}.\]
PMF 的讀法：前 \(k-1\) 次全失敗、第 \(k\) 次成功，獨立相乘。注意另一種慣例把 \(X\) 定義為「第一次成功前的失敗次數」（支撐從 0 開始），查表或用套件前務必確認；scipy.stats.geom 採用本書「試驗次數」的慣例。
均值 \(1/p\) 有個漂亮的「第一步分析」推導：第一次試驗要嘛成功（機率 \(p\)，此時 \(X = 1\)），要嘛失敗（機率 \(1-p\)，已花 1 次，且一切重新開始），故 \[\E[X] = p \cdot 1 + (1-p)\bigl(1 + \E[X]\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \E[X] = \frac{1}{p}.\] 成功率 \(2\%\) 的抽卡平均要抽 50 次——倒數關係直觀好記，但小心：幾何分布右偏，均值被長尾拉高，「抽滿 50 次仍落空」的機率其實還有三分之一以上（練習 4.3 會算給你看）。推導中「失敗後一切重來」正是幾何分布的招牌：無記憶性（memorylessness），\(\Prob(X > m+n \mid X > m) = \Prob(X > n)\)——已連續失敗 \(m\) 次，對「還要再等多久」毫無影響。證明留作練習 4.8；連續版本（指數分布）將在例 4.4 登場。
二項與幾何是同一台白努利機器上的兩個對偶問題：二項固定試驗次數 \(n\)、問成功幾次；幾何固定成功次數（1 次）、問要試幾回。拿到題目先自問：「固定的是次數，還是目標？」把目標推廣到「第 \(r\) 次成功」就得到負二項分布（negative binomial distribution）。
卜瓦松分布：罕見事件的計數器
客服電話、網站點擊、基因突變、一頁書裡的錯字——這些計數有共同特徵：事件罕見、彼此獨立、發生在連續的時間或空間中，而且沒有自然的試驗次數上限（你沒辦法說一小時裡有幾次「接到電話的機會」）。卜瓦松分布正是為這種「無 \(n\) 可言」的計數而生，唯一的參數是平均發生次數 \(\lambda\)。
若 \(X\) 的 PMF 為 \[\Prob(X = k) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}, \qquad k = 0, 1, 2, \dots\] 其中 \(\lambda > 0\) 為固定區間內事件的平均發生次數，則稱 \(X\) 服從卜瓦松分布（Poisson distribution），記 \(X \sim \mathrm{Poi}(\lambda)\)。其均值與變異數相等： \[\E[X] = \Var(X) = \lambda.\]
機率加總為 1 靠的是泰勒級數 \(\sum_{k \ge 0} \lambda^{k}/k! = e^{\lambda}\)。均值的推導只有一行——關鍵是 \(k / k! = 1/(k-1)!\)： \[\E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} k \, \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} = \lambda.\] 變異數同為 \(\lambda\) 的推導是練習 4.7。「均值 \(=\) 變異數」是卜瓦松的指紋，稍後會看到它是二項的 \(np(1-p)\) 在 \(p \to 0\) 極限下留下的遺跡。
某客服中心平均每小時接到 3 通投訴電話，假設來電符合卜瓦松模型。求一小時內 (a) 恰好接到 3 通的機率；(b) 至少接到 2 通的機率。
令 \(X \sim \mathrm{Poi}(3)\)，其中 \(e^{-3} \approx 0.049787\)。
(a) \(\displaystyle \Prob(X = 3) = \frac{3^{3} e^{-3}}{3!} = 4.5\, e^{-3} \approx 0.2240\)。
(b) 「至少 2 通」包含無限多種情況，直接加總算不完；改用補集（第 1 章的老朋友）： \[\Prob(X \ge 2) = 1 - \Prob(X = 0) - \Prob(X = 1) = 1 - e^{-3} - 3 e^{-3} = 1 - 4 e^{-3} \approx 0.8009.\]
設 \(X_n \sim \mathrm{Bin}(n, p_n)\)。若 \(n \to \infty\)、\(p_n \to 0\) 且 \(n p_n = \lambda\) 保持固定，則對每個固定的 \(k\)， \[\lim_{n \to \infty} \Prob(X_n = k) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!},\] 即二項分布收斂到卜瓦松分布 \(\mathrm{Poi}(\lambda)\)。（證明見練習 4.10。）
把一小時切成 \(n = 3600\) 個一秒的小格子，每一秒「有沒有電話進來」近似一次成功率極低的白努利試驗（\(p = \lambda/n\)），整小時的電話數就是 \(\mathrm{Bin}(n, \lambda/n)\)。格子切得越細，近似越精確，極限就是卜瓦松——卜瓦松是「無窮多次、無窮小機率」的二項。\(n\) 已被送到無窮大，所以它沒有參數 \(n\)，只留下平均次數 \(\lambda\)。
某本書共 100 頁，每頁獨立地以機率 \(0.03\) 含有錯字（每頁至多計一次）。含錯字的頁數 \(X \sim \mathrm{Bin}(100, 0.03)\)。用 \(\lambda = np = 3\) 的卜瓦松近似它，並逐點比較。
兩個 PMF 在 \(k = 0, \dots, 6\) 的值如下（涵蓋約 \(97\%\) 的機率質量）：
| \(k\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathrm{Bin}(100,\,0.03)\) | 0.0476 | 0.1471 | 0.2252 | 0.2275 | 0.1706 | 0.1013 | 0.0496 |
| \(\mathrm{Poi}(3)\) | 0.0498 | 0.1494 | 0.2240 | 0.2240 | 0.1680 | 0.1008 | 0.0504 |
逐點差距最大僅約 \(0.0035\)。經驗法則：\(n \ge 100\) 且 \(p \le 0.05\) 時卜瓦松近似已相當精確；\(p\) 越小、\(n\) 越大越準。好處是只剩一個參數、不涉及巨大的組合數，在 \(n\) 極大的場合（如「全臺一天的信用卡盜刷筆數」）尤其方便。
二項還是卜瓦松？（1）有自然上限用二項，沒有就用卜瓦松：「100 位訪客中點擊廣告的人數」最多 100 人，是 \(\mathrm{Bin}(100, p)\)；「一小時內的總點擊數」沒有天花板，用 \(\mathrm{Poi}(\lambda)\)。\(n\) 大、\(p\) 小時兩者幾乎相同（定理 4.6），但 \(p\) 不小時卜瓦松會明顯失準——二項的變異數 \(np(1-p)\) 嚴格小於均值，卜瓦松卻硬說兩者相等。（2）\(\lambda\) 必須隨觀察窗縮放：平均每分鐘 2 通電話，5 分鐘內的通數是 \(\mathrm{Poi}(10)\) 而非 \(\mathrm{Poi}(2)\)——使用前先確認 \(\lambda\) 對應的區間長度與題目一致。
類別分布與多項分布：從二選一到多選一
白努利處理「二選一」，但真實世界常是「\(K\) 選一」：手寫數字是 0 到 9 的其中一個、下一個詞是整個詞彙表中的任何一個。把白努利與二項各自推廣到 \(K\) 類，就得到類別分布與多項分布。
設單次試驗有 \(K\) 種互斥結果，機率分別為 \(p_1, \dots, p_K\)（\(p_k \ge 0\)，\(\sum_{k} p_k = 1\)）。
類別分布（categorical distribution）\(\mathrm{Cat}(p_1, \dots, p_K)\)：單次試驗的結果 \(X \in \{1, \dots, K\}\)，\(\Prob(X = k) = p_k\)。它是白努利的 \(K\) 類推廣（\(K = 2\) 時退回白努利）。
多項分布（multinomial distribution）\(\mathrm{Mult}(n;\, p_1, \dots, p_K)\)：獨立重複 \(n\) 次，令 \(N_k\) 為結果 \(k\) 出現的次數，則 \[\Prob(N_1 = n_1, \dots, N_K = n_K) = \frac{n!}{n_1! \cdots n_K!} \, p_1^{n_1} \cdots p_K^{n_K}, \qquad \sum_{k} n_k = n.\] 它是二項的 \(K\) 類推廣；每個邊際皆為二項：\(N_k \sim \mathrm{Bin}(n, p_k)\)。
機器學習慣用 one-hot 編碼表示類別結果：\(Y = (0, \dots, 1, \dots, 0)\)，\(1\) 在第 \(X\) 個位置，此時 \(\E[Y] = (p_1, \dots, p_K)\)——期望值就是機率向量本身。softmax 層輸出的正是一個合法的類別分布，所以類別分布是每個 softmax 分類器的目標分布：把標籤建模為類別分布並最大化概似，損失恰好是交叉熵（第 7 章）。多項分布則是詞袋（bag-of-words）模型的主角：一篇 \(n\) 個詞的文件，其詞頻向量就是一次 \(\mathrm{Mult}(n;\, p_{1:K})\) 的抽樣。
| 分布 | PMF \(\Prob(X=k)\) | 均值 | 變異數 | 一句話故事 |
|---|---|---|---|---|
| 白努利 \(\mathrm{Ber}(p)\) | \(p^{k}(1-p)^{1-k}\)，\(k \in \{0,1\}\) | \(p\) | \(p(1-p)\) | 一次是／否試驗 |
| 二項 \(\mathrm{Bin}(n,p)\) | \(\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\) | \(np\) | \(np(1-p)\) | \(n\) 次試驗的成功數 |
| 幾何 \(\mathrm{Geom}(p)\) | \((1-p)^{k-1} p\)，\(k \ge 1\) | \(1/p\) | \((1-p)/p^{2}\) | 等到第一次成功 |
| 卜瓦松 \(\mathrm{Poi}(\lambda)\) | \(\lambda^{k} e^{-\lambda} / k!\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) | 罕見事件的計數 |
| 類別 \(\mathrm{Cat}(p_{1:K})\) | \(p_k\)，\(k \in \{1,\dots,K\}\) | — | — | \(K\) 選一 |
連續分布：從均勻亂數到鐘形曲線
離散分布數「次數」，連續分布量「大小」：等待時間、身高、誤差、比率。回顧第 3 章：連續隨機變數由機率密度函數（PDF）\(f\) 描述，\(\Prob(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) \dd x\)，任何單點的機率都是 0。故事依然是主角。
均勻分布：範圍內等可能
最無知也最誠實的分布：只知道值落在 \([a, b]\) 裡，此外毫無偏好。密度是常數，機率就是長度的比例。
若 \(X\) 的 PDF 在區間 \([a, b]\) 上為常數 \[f(x) = \frac{1}{b-a}, \qquad a \le x \le b\] （區間外為 0），則稱 \(X\) 服從均勻分布（uniform distribution），記 \(X \sim \mathrm{U}(a, b)\)。對任何子區間 \([c, d] \subseteq [a, b]\)，\(\Prob(c \le X \le d) = \frac{d-c}{b-a}\)。均值與變異數： \[\E[X] = \frac{a+b}{2}, \qquad \Var(X) = \frac{(b-a)^{2}}{12}.\]
均值是對稱中心，一望即知；變異數的 12 來自 \(\E[X^{2}] = \frac{b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}\) 減去均值平方。均勻分布有兩個遠比外表重要的角色：（1）亂數生成的基礎——電腦產生的「隨機數」rng.random() 就是 \(\mathrm{U}(0,1)\) 的樣本，幾乎所有其他分布的抽樣都由它變換而來（例如 \(-\ln(U)/\lambda \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\)）；（2）無資訊先驗的原型——對 \([0,1]\) 上的未知機率毫無成見時，貝氏統計常以 \(\mathrm{U}(0,1)\)（即 \(\mathrm{Beta}(1,1)\)）作為起點（第 9 章）。
指數分布：連續時間的等待
幾何分布問「第一次成功在第幾次」，指數分布問連續版：「第一件事發生在什麼時刻」。等下一通電話、下一次地震、下一個放射性衰變——凡是以固定平均速率、彼此獨立地隨機發生的事件，其等待時間就是指數分布。
若 \(X \ge 0\) 的 PDF 為 \[f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \qquad x \ge 0,\] 則稱 \(X\) 服從率參數為 \(\lambda\) 的指數分布（exponential distribution），記 \(X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\)。其存活函數（survival function）、均值與變異數為 \[\Prob(X > t) = e^{-\lambda t}, \qquad \E[X] = \frac{1}{\lambda}, \qquad \Var(X) = \frac{1}{\lambda^{2}}.\]
均值用一次分部積分即得： \[\E[X] = \int_{0}^{\infty} x \, \lambda e^{-\lambda x} \dd x = \Bigl[ -x e^{-\lambda x} \Bigr]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} \dd x = 0 + \frac{1}{\lambda}.\] 參數 \(\lambda\) 是「率」：每單位時間平均發生 \(\lambda\) 件事，平均等待時間 \(1/\lambda\)——率越高、等越短。寫程式時小心：NumPy 與 SciPy 的指數分布吃的參數是 \(\texttt{scale} = 1/\lambda\)（均值）而非 \(\lambda\)，這是統計程式最常見的 bug 之一。
指數與卜瓦松是同一枚硬幣的兩面，合稱卜瓦松過程（Poisson process）：事件以率 \(\lambda\) 隨機發生時，「長度 \(t\) 的窗口內的事件數」服從 \(\mathrm{Poi}(\lambda t)\)，「相鄰兩件事的間隔」服從 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\)。兩者的橋樑只有一行：\(\Prob(\text{等待} > t) = \Prob(\text{窗口內零事件}) = e^{-\lambda t}\)，正是指數的存活函數。4.5 節的模擬將直接利用這件事：用指數間隔累加出到達時刻，數出來的計數自動服從卜瓦松。
設 \(X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\)。證明對任意 \(s, t \ge 0\)， \[\Prob(X > s + t \mid X > s) = \Prob(X > t),\] 並解釋這個性質的意義與適用限制。
事件 \(\{X > s+t\}\) 包含於 \(\{X > s\}\)，由條件機率的定義（第 2 章）： \[\Prob(X > s+t \mid X > s) = \frac{\Prob(X > s+t)}{\Prob(X > s)} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = \Prob(X > t). \qquad \blacksquare\] 意義：「已經等了 \(s\) 分鐘」對「還要再等多久」毫無影響——指數分布不累積等待、不老化。適用於沒有磨損機制的事件（放射性衰變、卜瓦松到達的間隔）；不適用於會老化或有節奏的事物（輪胎壽命、班距固定的捷運）。推論：無論已等多久，剩餘的期望等待時間永遠還是 \(1/\lambda\)。
常態（高斯）分布：鐘形曲線
終於輪到主角。身高、測量誤差、考試分數的分布都近似這條鐘形曲線；它憑什麼無所不在，4.3 節專門回答，這裡先把它定義清楚、學會計算。
若 \(X\) 的 PDF 為 \[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\!\left( -\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} \right), \qquad x \in \mathbb{R},\] 則稱 \(X\) 服從均值 \(\mu\)、變異數 \(\sigma^{2}\) 的常態分布（normal distribution），又稱高斯分布（Gaussian distribution），記 \(X \sim N(\mu, \sigma^{2})\)。\(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\) 時稱標準常態（standard normal），其 CDF 記為 \(\Phi(z)\)。
幾何性質：曲線對稱於 \(\mu\)（均值＝中位數＝眾數）；\(\sigma\) 控制寬度；反曲點恰在 \(\mu \pm \sigma\)——「一個標準差」在圖上看得見。尾部以 \(e^{-x^{2}}\) 的速度衰減，比指數更快，屬「輕尾」。CDF 沒有初等閉式，所有常態機率都靠標準常態的 \(\Phi\) 查表或軟體——而標準化保證一張表就夠用。
若 \(X \sim N(\mu, \sigma^{2})\)，則 \[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1), \qquad\text{因此}\qquad \Prob(X \le x) = \Phi\!\left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right).\] 把 \(x\) 換算成「距離均值幾個標準差」的數字 \(z = (x-\mu)/\sigma\)，稱為 \(z\) 分數（z-score）。
實際流程永遠是兩步：算 \(z\) 分數、查 \(\Phi\)。例 4.6 將示範「不查表」的心算版（68–95–99.7 法則），精確版交給 4.5 節的 norm.cdf。
Beta 分布：機率的分布
到目前為止，參數 \(p\) 都被當成已知常數。但真實世界裡 \(p\) 往往正是我們最想知道的未知數：新廣告的點擊率、新藥的治癒率。既然不確定，就給它一個分布——一個定義在 \([0,1]\) 上、專門描述「機率本身」的分布。這就是 Beta。
若 \(X \in [0, 1]\) 的 PDF 為 \[f(x) = \frac{x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}, \qquad B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\, \Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)},\] 其中 \(\alpha, \beta > 0\)，則稱 \(X\) 服從 Beta 分布，記 \(X \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta)\)。均值、眾數（需 \(\alpha, \beta > 1\)）與變異數： \[\E[X] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}, \qquad \text{眾數} = \frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2}, \qquad \Var(X) = \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^{2} (\alpha+\beta+1)}.\]
這裡 \(\Gamma\) 是階乘的推廣（正整數時 \(\Gamma(n) = (n-1)!\)），\(B(\alpha, \beta)\) 只是讓密度積分為 1 的正規化常數。形狀完全由 \((\alpha, \beta)\) 決定，見圖 4.3——同一族分布可以是平的、山形的、偏斜的，甚至 U 形的。
把參數讀成 \(\alpha - 1\) 次「虛擬成功」與 \(\beta - 1\) 次「虛擬失敗」（合稱偽計數，pseudo-counts），對照圖 4.3 解讀四組參數的形狀，並計算 \(\mathrm{Beta}(5,2)\) 的均值與眾數。
\(\mathrm{Beta}(1,1)\)：0 成功、0 失敗——毫無資訊，退化為均勻分布 \(\mathrm{U}(0,1)\)。
\(\mathrm{Beta}(2,2)\)：各 1 次——山形，溫和偏好 \(p \approx 0.5\)，但不排除兩端。
\(\mathrm{Beta}(5,2)\)：4 成功、1 失敗——右移單峰。均值 \(5/7 \approx 0.714\)，眾數 \((5-1)/(5+2-2) = 0.8\)。
\(\mathrm{Beta}(0.5,0.5)\)：偽計數是「負的」——U 形，把賭注押在兩個極端（\(p\) 接近 0 或 1）。
偽計數的威力在更新：以 \(\mathrm{Beta}(\alpha, \beta)\) 為先驗、觀察到 \(s\) 次成功與 \(f\) 次失敗後，後驗恰好是 \(\mathrm{Beta}(\alpha + s,\ \beta + f)\)——真實計數直接加在偽計數上，分布家族不變。這種性質稱為共軛（conjugacy）：Beta 是白努利／二項參數的共軛先驗（conjugate prior），第 9 章完整展開，4.5 節的程式會先讓你看一眼數字。
密度可以大於 1！機率質量 \(\Prob(X = k)\) 永遠不超過 1，但機率密度 \(f(x)\) 沒有這個限制：\(\mathrm{U}(0, 0.5)\) 的密度恆為 2；\(N(\mu, 0.1^{2})\) 的峰值約 \(3.99\)；圖 4.3 裡 \(\mathrm{Beta}(0.5, 0.5)\) 的密度在兩端甚至衝向無窮大。這都完全合法：密度是「每單位長度的機率」，真正必須等於 1 的是曲線下總面積 \(\int f(x) \dd x\)——底越窄，峰就可以越高。同一個誤解的另一面，是把 \(f(x)\) 當成 \(\Prob(X = x)\)：連續分布中任何單點的機率都是 0，有意義的是區間，\(\Prob(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) \dd x\)。
Gamma、卡方與 t 分布：推論的配角
最後三個分布在本章戲份不多，卻是第 8 章統計推論的要角，先認識故事即可。
Gamma 分布 \(\mathrm{Gamma}(\alpha, \lambda)\)：PDF 為 \(f(x) = \dfrac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)}\)（\(x > 0\)），均值 \(\alpha/\lambda\)、變異數 \(\alpha/\lambda^{2}\)。當 \(\alpha = k\) 為正整數時，它是 \(k\) 個獨立 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\) 之和——「等到第 \(k\) 件事發生的總時間」。
卡方分布（chi-squared distribution）\(\chi^{2}_{k}\)：\(k\) 個獨立標準常態的平方和 \(Z_1^{2} + \cdots + Z_k^{2}\) 的分布，等同於 \(\mathrm{Gamma}(k/2,\, 1/2)\)；均值 \(k\)、變異數 \(2k\)。\(k\) 稱為自由度（degrees of freedom）。
\(t\) 分布（Student’s \(t\)）\(t_{\nu}\)：比值 \(T = \dfrac{Z}{\sqrt{\chi^{2}_{\nu} / \nu}}\)（分子分母獨立）的分布。鐘形、對稱於 0，但尾部比常態厚；\(\nu \to \infty\) 時趨近 \(N(0,1)\)。
卡方的均值有個一行推導：\(\E[Z^{2}] = \Var(Z) = 1\)，由線性性 \(\E[\chi^{2}_{k}] = k\)；它描述「\(k\) 個獨立誤差的能量總和」，是樣本變異數與適合度檢定的核心（第 8 章）。\(t\) 分布的故事：想用樣本均值推論 \(\mu\) 卻不知道 \(\sigma\)，只好用樣本標準差 \(s\) 代替——多出來的不確定性讓尾巴變厚，厚多少由自由度 \(\nu\) 控制（\(\nu = 30\) 時已與常態幾乎重合；極端情形 \(t_{1}\) 是柯西分布，尾巴厚到連均值都不存在）。\(t\) 檢定與小樣本信賴區間正是它的主場。
| 分布 | PDF \(f(x)\) | 支撐 | 均值 | 變異數 | 一句話故事 |
|---|---|---|---|---|---|
| 均勻 \(\mathrm{U}(a,b)\) | \(\frac{1}{b-a}\) | \([a,b]\) | \(\frac{a+b}{2}\) | \(\frac{(b-a)^{2}}{12}\) | 範圍內毫無偏好 |
| 指數 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\) | \(\lambda e^{-\lambda x}\) | \([0,\infty)\) | \(\frac{1}{\lambda}\) | \(\frac{1}{\lambda^{2}}\) | 等第一件事發生 |
| 常態 \(N(\mu,\sigma^{2})\) | \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^{2}/(2\sigma^{2})}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mu\) | \(\sigma^{2}\) | 許多小效應之和 |
| Beta\((\alpha,\beta)\) | \(\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}\) | \([0,1]\) | \(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\) | \(\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2}(\alpha+\beta+1)}\) | 機率本身的分布 |
| Gamma\((\alpha,\lambda)\) | \(\frac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)}\) | \((0,\infty)\) | \(\frac{\alpha}{\lambda}\) | \(\frac{\alpha}{\lambda^{2}}\) | 等 \(k\) 件事的總時間 |
| 卡方 \(\chi^{2}_{k}\) | \(= \mathrm{Gamma}(k/2, 1/2)\) | \((0,\infty)\) | \(k\) | \(2k\) | \(k\) 個標準常態平方和 |
| \(t_{\nu}\) | \(\propto (1 + x^{2}/\nu)^{-(\nu+1)/2}\) | \(\mathbb{R}\) | \(0\)（\(\nu>1\)） | \(\frac{\nu}{\nu-2}\)（\(\nu>2\)） | 厚尾鐘形、小樣本 |
高斯為何無所不在
打開任何一篇實驗科學論文，誤差棒假設常態；打開任何一本機器學習教科書，雜訊預設高斯。一個分布憑什麼享有這種地位？三個彼此獨立的理由。
高斯分布稱霸統計與機器學習，原因有三：
中央極限定理（central limit theorem, CLT；第 6 章）：許多獨立小效應的和（或平均）近似高斯，無論每個效應本身服從什麼分布。測量雜訊、聚合行為、mini-batch 的平均梯度，都是這種和。
最大熵（maximum entropy）：在「均值為 \(\mu\)、變異數為 \(\sigma^{2}\)」的所有分布中，高斯的熵最大——它是最分散、假設最少的選擇。只知道前兩個動差時，選高斯等於不多說任何沒有根據的話。
數學便利：高斯家族在線性變換、相加、條件化、邊際化之下都封閉（見下方命題），對數密度是簡單的二次式——這正是「平方誤差損失對應高斯雜訊」的原因（第 7 章）。
加法選中了高斯。擲一顆骰子，點數分布是平的；兩顆之和成三角形；十顆之和已近乎鐘形——和會遺忘出身，無論原料是什麼分布，加總夠多份之後都趨向高斯（第 6 章將精確化）。而「許多小效應之和」正是世界的常態：測量誤差、身高、mini-batch 平均梯度都是這種和。高斯不是被人選中的，是被加法選中的。
最大熵是誠實。只知道均值與變異數時，最大熵原理要你選「此約束下最分散、假設最少」的分布，可以證明答案恰是 \(N(\mu, \sigma^{2})\)。同一原理也解釋本章另外兩位成員：給定範圍 \([a,b]\) 時最大熵是均勻，給定正支撐與均值時是指數——三個「預設選項」地位相同：只編碼已知，其餘保持最大的不可知。
解析便利。高斯怎麼運算都還是高斯：
設 \(X \sim N(\mu_X, \sigma_X^{2})\) 與 \(Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^{2})\) 獨立，\(a, b\) 為常數。則 \[aX + b \sim N\bigl(a\mu_X + b,\ a^{2}\sigma_X^{2}\bigr), \qquad X + Y \sim N\bigl(\mu_X + \mu_Y,\ \sigma_X^{2} + \sigma_Y^{2}\bigr).\] 更進一步，聯合高斯向量的邊際分布與條件分布仍是高斯（證明見第 5 章）。
且它的對數密度是二次式：\(\ln f(x) = -\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} + \text{常數}\)。第 7 章將看到：把觀測建模為「真值加高斯雜訊」再做最大概似，得到的正是最小平方法——平方誤差不是任意選擇，而是高斯假設的直接後果。卡爾曼濾波、高斯過程、變分自編碼器，全都仰賴這種「運算封閉＋二次對數」的便利。
68–95–99.7 法則（經驗法則）：若 \(X \sim N(\mu, \sigma^{2})\)，則 \[\Prob(|X - \mu| \le \sigma) \approx 68.3\%, \qquad \Prob(|X - \mu| \le 2\sigma) \approx 95.4\%, \qquad \Prob(|X - \mu| \le 3\sigma) \approx 99.7\%.\] 這三個數字值得背下來：實驗報告的「\(2\sigma\) 誤差棒」、民調的 95% 信賴區間（第 8 章）、工廠的 \(3\sigma\) 品管，全都源於此。反過來讀：偏離均值超過 \(3\sigma\) 的觀測，每千次只該出現約 3 次——它要嘛是異常值，要嘛你的模型錯了。
假設某國成年男性身高 \(X \sim N(172,\, 6^{2})\)（單位：公分）。心算下列各值：(a) \(\Prob(166 \le X \le 178)\)；(b) \(\Prob(X > 184)\)；(c) \(\Prob(X < 154)\)；(d) 某大學有 2000 名男學生，期望有幾人高於 184 公分？
先把邊界換算成 \(z\) 分數（距離均值幾個 \(\sigma\)）：
(a) \(166 = \mu - \sigma\)、\(178 = \mu + \sigma\)，故 \(\Prob \approx 68.3\%\)。
(b) \(184 = \mu + 2\sigma\)。\(\pm 2\sigma\) 之外約 \(1 - 0.954 = 0.046\)，由對稱性右尾佔一半：\(\Prob(X > 184) \approx 0.023\)。
(c) \(154 = \mu - 3\sigma\)，左尾約 \((1 - 0.997)/2 = 0.0015\)，即千分之 1.5。
(d) 每位學生獨立地以 \(p \approx 0.023\) 高於 184 公分，人數服從 \(\mathrm{Bin}(2000,\, 0.023)\)，期望約 \(2000 \times 0.023 = 46\) 人。注意這一步把常態與二項串接了起來——分布不是孤島，這正是下一節的主題。
分布之間的關係網
本章的分布不是互不相干的詞條，而是一張關係緊密的網（圖 4.5）：箭頭代表相加、取極限、平方、離散對應連續、共軛。把這張網記住，目錄就變成了理解。
別把本章讀成「目錄」，要讀成「地圖」。知道「白努利相加成二項」，\(\E = np\) 就不必背；知道「卜瓦松是罕見事件的二項極限」，就明白它為何均值等於變異數（\(np(1-p) \to \lambda\)，因為 \(p \to 0\)）；知道「指數是幾何的連續版」，無記憶性就一點也不神祕。日後遇到新分布（負二項、Dirichlet、對數常態……），第一個問題永遠是：它掛在這張網的哪裡？
選分布＝選模型＝選損失函數。第 7 章將證明「最大化概似」與「最小化損失」是同一件事的兩面，於是本章每個分布都對應機器學習的一個預設選項：
標籤建模為類別分布，得到交叉熵（cross-entropy）損失——分類的預設；二元版（白努利）就是 binary cross-entropy 與 logistic 迴歸。
迴歸目標建模為高斯（真值加高斯雜訊），得到均方誤差（mean squared error, MSE）——迴歸的預設；換成厚尾的 \(t\) 或 Laplace 分布，就得到對異常值更穩健的損失。
計數建模為卜瓦松，得到卜瓦松迴歸——預測點擊數、理賠數、缺陷數的標準工具。
Beta 與高斯分別是白努利比率與高斯均值的共軛先驗（第 9 章），支撐貝氏 A/B 測試與 Thompson 抽樣；白努利遮罩是 dropout 的機制；高斯是 VAE 的潛在先驗、也是擴散模型逐步添加的雜訊；語言模型每一步預測的下一個詞，都是一個巨大的類別分布。
選定一個分布，就是在告訴模型：「資料是由這種隨機性生成的。」選對了，損失函數與不確定性估計都自動就位；選錯了（例如把厚尾資料硬塞給高斯），模型會用整個訓練過程替這個錯誤買單。
Python 實作
照例，動手驗證。scipy.stats 對每個分布提供統一介面：pmf／pdf、cdf、sf（存活函數，即 \(1-\mathrm{CDF}\)）、rvs（抽樣）。以下依序驗證代表性計算、68–95–99.7 法則、卜瓦松極限，以及「指數間隔生成卜瓦松計數」的模擬。
import numpy as np from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(42)
# — 1. pmf / pdf / cdf / sf：查分布的四把鑰匙 — print(stats.binom.pmf(4, 10, 0.4)) # 0.2508 圖 4.1 左 k=4 的長條 print(stats.poisson.pmf(3, 3)) # 0.2240 圖 4.1 右 k=3 的長條 print(stats.geom.sf(50, 0.02)) # 0.3642 練習 4.3：50 抽全落空 print(stats.expon.sf(15, scale=10)) # 0.2231 Exp(均值10) 的 P(T>15) print(stats.norm.cdf(178, 172, 6) - stats.norm.cdf(166, 172, 6)) # 0.6827 例 4.6(a)
# — 2. 68-95-99.7 法則：用 norm.cdf 驗證 — for k in [1, 2, 3]: p = stats.norm.cdf(k) - stats.norm.cdf(-k) print(k, round(p, 4)) # 0.6827 / 0.9545 / 0.9973
# — 3. 二項的卜瓦松極限：n=100, p=0.03, lam=3（例 4.3）— for k in range(5): pb = stats.binom.pmf(k, 100, 0.03) pp = stats.poisson.pmf(k, 3) print(k, round(pb, 4), round(pp, 4))
# — 4. 卜瓦松過程：指數間隔累加 -> 單位時間的到達數 — lam = 3.0 gaps = rng.exponential(scale=1/lam, size=(100_000, 30)) counts = (np.cumsum(gaps, axis=1) <= 1.0).sum(axis=1) print(counts.mean(), counts.var()) # 均值與變異數都約 3 print((counts >= 2).mean()) # 約 0.8009，對照例 4.2(b)
# — 5. Beta 共軛更新：Beta(2,2) 先驗 + 7 成功 3 失敗 — a, b = 2 + 7, 2 + 3 # 後驗 Beta(9,5)（第 9 章） print(stats.beta.mean(a, b)) # 0.6429 後驗均值 print((a - 1) / (a + b - 2)) # 0.6667 後驗眾數
輸出解讀：第 1 段五個數字分別對應圖 4.1、練習 4.3、練習 4.4 與例 4.6 的手算結果；第 3 段兩欄幾乎相同，複現例 4.3 的對照表。第 4 段最有意思：只用指數亂數就造出了卜瓦松計數——均值與變異數都接近 3（卜瓦松的指紋），\(\Prob(N \ge 2) \approx 0.8009\) 與例 4.2 的補集計算吻合。模擬是最誠實的驗算：手算若有錯，十萬次抽樣不會替你圓謊。
每個分布是一個故事：白努利＝一次是／否試驗；二項＝\(n\) 次試驗的成功數；幾何＝等到第一次成功；卜瓦松＝固定區間內罕見事件的計數；均勻＝範圍內等可能；指數＝連續的等待時間；高斯＝許多微小效應之和；Beta＝機率本身的分布。選分布就是認故事。
代表性結果與手法：二項的 \(\E = np\)、\(\Var = np(1-p)\)（指示變數＋線性性）；卜瓦松的 \(\E = \Var = \lambda\)（級數）；幾何與指數具無記憶性；「至少」型問題用補集。
高斯稱霸的三大理由：中央極限定理（和／平均趨向高斯）、最大熵（給定均值與變異數下假設最少）、解析便利（線性運算封閉、對數密度為二次式）。務必記住 68–95–99.7。
分布是相連的網而非孤立條目：白努利相加成二項；二項的極限是卜瓦松（罕見事件）與高斯（CLT）；指數是幾何的連續版、與卜瓦松合組卜瓦松過程；高斯平方和成卡方；Beta 是白努利比率的共軛先驗。
選分布＝選損失：類別 \(\to\) 交叉熵、高斯 \(\to\) MSE、卜瓦松 \(\to\) 卜瓦松迴歸。實作套路：
scipy.stats的pmf／cdf／sf／rvs；密度可以大於 1，機率是面積；模擬是最誠實的驗算。
練習題
建議先獨立完成再對照詳解；題目依難度標示為基礎、進階、挑戰三級。
某籃球員罰球命中率為 \(0.8\)，投 10 球，各球獨立。令 \(X\) 為命中數。(a) \(X\) 服從什麼分布？寫出它的 PMF。(b) 求恰好命中 8 球的機率。(c) 求至少命中 9 球的機率。(d) 求 \(X\) 的均值、變異數與標準差。
某電商網站尖峰時段平均每分鐘出現 2 筆訂單，假設訂單到達符合卜瓦松模型。(a) 求某一分鐘內沒有任何訂單的機率。(b) 求某一分鐘內至少 3 筆訂單的機率。(c) 接下來 5 分鐘內的訂單數服從什麼分布？「至少一筆」的機率是多少？
某手機遊戲抽卡，每抽獨立，抽中 SSR 的機率為 \(0.02\)。令 \(X\) 為第一次抽中 SSR 所需的抽數。(a) 寫出 \(X\) 的分布與 PMF。(b) 求前 10 抽全部落空的機率。(c) 求期望抽數。(d) 求抽了 50 抽（恰為期望值）仍未抽中的機率，並評論這個數字說明了什麼。
某路口計程車的到達符合卜瓦松過程，平均每 10 分鐘一輛。令 \(T\) 為你開始等待到第一輛車出現的時間。(a) \(T\) 服從什麼分布？求等待超過 15 分鐘的機率。(b) 求 5 分鐘內等到車的機率。(c) 求等待時間的中位數，並解釋它為何小於均值 10 分鐘。(d) 你已經等了 10 分鐘還沒有車，「接下來還要再等超過 15 分鐘」的機率是多少？
某大型測驗的分數近似 \(N(70,\, 8^{2})\)。用 68–95–99.7 法則心算：(a) 分數落在 62 到 78 之間的比例；(b) 高於 86 分的比例；(c) 落在 54 到 86 之間的比例；(d) 要贏過約 \(99.85\%\) 的考生，至少需要幾分？
設 \(X \sim \mathrm{Bin}(n, p)\)。(a) 把 \(X\) 寫成指示變數之和，利用期望值的線性性證明 \(\E[X] = np\)。(b) 證明單一白努利變數的變異數為 \(p(1-p)\)，並利用獨立性推出 \(\Var(X) = np(1-p)\)。(c) 若各次試驗仍各自服從 \(\mathrm{Ber}(p)\) 但彼此不獨立（例如正相關），(a) 與 (b) 的結論哪個仍然成立？哪個會失效？
設 \(X \sim \mathrm{Poi}(\lambda)\)。本章正文已推導 \(\E[X] = \lambda\)。(a) 用級數證明 \(\E[X(X-1)] = \lambda^{2}\)。(b) 由此推出 \(\Var(X) = \lambda\)。(c) 說明為何「樣本均值 \(\approx\) 樣本變異數」可當作卜瓦松模型的快速健檢，以及真實計數資料常見的偏離方向。
設 \(X \sim \mathrm{Geom}(p)\)。(a) 證明 \(\Prob(X > k) = (1-p)^{k}\)。(b) 證明無記憶性：\(\Prob(X > m + n \mid X > m) = \Prob(X > n)\)。(c) 指數分布滿足完全相同的等式（例 4.4）。說明在什麼意義下指數是幾何的「連續表親」，並用無記憶性解釋為何「已經連輸十把」對下一把毫無幫助（賭徒謬誤）。
替下列每個情境選擇最合適的分布（從本章出場者中挑選），寫出參數的意義，用該分布的「故事」說明理由，並在必要時指出模型可能失準之處： (a) 一小時內通過某收費站的車輛數； (b) 100 位收到促銷信的顧客中實際下單的人數； (c) 一顆不會老化的電子零件從現在到故障的時間； (d) 擲一顆公正骰子，直到第一次出現 6 所需的次數； (e) 1000 位成年女性的身高； (f) 一個新上線廣告的未知點擊率。
證明定理 4.6（罕見事件定律）：設 \(X_n \sim \mathrm{Bin}(n,\, \lambda/n)\)，\(\lambda > 0\) 固定。證明對每個固定的 \(k\)， \[\lim_{n \to \infty} \Prob(X_n = k) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}.\] 提示：把 PMF 拆成數個因子分別取極限，可使用 \(\bigl(1 - \lambda/n\bigr)^{n} \to e^{-\lambda}\)。並順帶說明：這個極限如何解釋卜瓦松「均值 \(=\) 變異數」的特徵？
用 scipy.stats 與 NumPy 完成：(a) 對 \(k = 0, \dots, 6\) 印出 \(\mathrm{Bin}(100, 0.03)\) 與 \(\mathrm{Poi}(3)\) 的 PMF，驗證例 4.3 的表格；(b) 模擬卜瓦松過程：產生大量 \(\mathrm{Exp}(3)\) 間隔並累加，統計單位時間到達數的均值、變異數與 \(\Prob(N \ge 2)\)，對照例 4.2；(c) 用 norm.cdf 驗證 68–95–99.7 法則。
練習題詳解
(a) 10 次固定次數、獨立且同命中率的是／否試驗，數成功次數，故 \(X \sim \mathrm{Bin}(10,\, 0.8)\)，\(\Prob(X = k) = \binom{10}{k} (0.8)^{k} (0.2)^{10-k}\)（\(k = 0, \dots, 10\)）。
(b) \(\displaystyle \Prob(X = 8) = \binom{10}{8} (0.8)^{8} (0.2)^{2} = 45 \times 0.16777 \times 0.04 \approx 0.3020\)。
(c) 至少 9 球即 \(k = 9\) 或 \(10\)：\(\Prob(X \ge 9) = \binom{10}{9}(0.8)^{9}(0.2) + (0.8)^{10} \approx 0.2684 + 0.1074 = 0.3758\)。
(d) \(\E[X] = np = 8\)，\(\Var(X) = np(1-p) = 1.6\)，標準差 \(\sqrt{1.6} \approx 1.26\)——典型表現約「\(8 \pm 1.3\) 球」。
令 \(X\) 為一分鐘內的訂單數，\(X \sim \mathrm{Poi}(2)\)。
(a) \(\Prob(X = 0) = e^{-2} \approx 0.1353\)。
(b) 「至少 3 筆」用補集：\(\Prob(X \ge 3) = 1 - e^{-2}\bigl(1 + 2 + \frac{2^{2}}{2}\bigr) = 1 - 5 e^{-2} \approx 0.3233\)。
(c) 卜瓦松的 \(\lambda\) 隨觀察窗長度縮放（4.1.4 小節的陷阱提醒）：5 分鐘內的訂單數 \(Y \sim \mathrm{Poi}(10)\)，\(\Prob(Y \ge 1) = 1 - e^{-10} \approx 0.99995\)，幾乎必然發生。
(a) 每抽是獨立、同機率 \(p = 0.02\) 的白努利試驗，\(X\) 是第一次成功的試驗數，故 \(X \sim \mathrm{Geom}(0.02)\)，\(\Prob(X = k) = (0.98)^{k-1}(0.02)\)（\(k = 1, 2, \dots\)）。
(b) 前 10 抽全部落空即 \(\Prob(X > 10) = (0.98)^{10} \approx 0.8171\)。
(c) \(\E[X] = 1/p = 50\) 抽。
(d) \(\Prob(X > 50) = (0.98)^{50} = e^{50 \ln 0.98} \approx 0.3642\)。抽滿「期望值」50 抽，仍有超過三分之一的機率一無所獲——幾何分布右偏，均值被長尾拉高；中位數其實只有 35 抽（\((0.98)^{34} \approx 0.503 > 0.5 > (0.98)^{35}\)）。
(a) 卜瓦松過程的等待時間服從指數分布。平均每 10 分鐘一輛表示率 \(\lambda = 0.1\)（每分鐘），故 \(T \sim \mathrm{Exp}(0.1)\)，\(\Prob(T > 15) = e^{-1.5} \approx 0.2231\)。
(b) \(\Prob(T \le 5) = 1 - e^{-0.5} \approx 0.3935\)。
(c) 中位數 \(m\) 滿足 \(e^{-0.1 m} = 0.5\)，故 \(m = 10 \ln 2 \approx 6.93\) 分鐘。中位數小於均值，因為指數分布右偏：多數等待很短，偶爾的漫長等待把平均拉高。
(d) 由無記憶性（例 4.4），已等 10 分鐘不改變剩餘等待的分布：\(\Prob(T > 25 \mid T > 10) = \Prob(T > 15) = e^{-1.5} \approx 0.2231\)，與 (a) 完全相同。
\(\mu = 70\)、\(\sigma = 8\)，逐一換算 \(z\) 分數：
(a) \(62 = \mu - \sigma\)、\(78 = \mu + \sigma\)，比例約 \(68.3\%\)。
(b) \(86 = \mu + 2\sigma\)。\(\pm 2\sigma\) 之外共約 \(4.6\%\)，右尾佔一半：約 \(2.3\%\)。
(c) \(54 = \mu - 2\sigma\)、\(86 = \mu + 2\sigma\)，比例約 \(95.4\%\)。
(d) 「贏過 \(99.85\%\)」表示落在最右端約 \(0.15\%\)。由法則，\(3\sigma\) 之外兩尾合計約 \(0.3\%\)、單尾約 \(0.15\%\)，故需要 \(\mu + 3\sigma = 70 + 24 = 94\) 分以上。
(a) 令 \(X_i \sim \mathrm{Ber}(p)\) 為第 \(i\) 次試驗的指示變數，則 \(X = X_1 + \cdots + X_n\)。期望值的線性性對任何隨機變數都成立（不需獨立性）：\(\E[X] = \sum_{i=1}^{n} \E[X_i] = np\)。
(b) 因 \(X_i^{2} = X_i\)（0 與 1 的平方是自身），\(\E[X_i^{2}] = p\)，故 \(\Var(X_i) = p - p^{2} = p(1-p)\)。各 \(X_i\) 獨立時變異數可加：\(\Var(X) = \sum_{i} \Var(X_i) = np(1-p)\)。
(c) (a) 仍成立：線性性不需要獨立性，即使試驗相關，\(\E[X] = np\) 依舊。(b) 會失效：相關時 \(\Var(X) = \sum_i \Var(X_i) + \sum_{i \ne j} \Cov(X_i, X_j)\)，正相關（例如疾病的家庭群聚感染）會使變異數大於 \(np(1-p)\)——即過度離散（overdispersion），二項模型會低估波動。
(a) 級數推導，關鍵是 \(k(k-1)/k! = 1/(k-2)!\)（\(k \ge 2\)；\(k = 0, 1\) 的項為 0）： \[\E[X(X-1)] = \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} = \lambda^{2} e^{-\lambda} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!} = \lambda^{2} e^{-\lambda} e^{\lambda} = \lambda^{2}.\]
(b) 由 \(\E[X(X-1)] = \E[X^{2}] - \E[X]\) 得 \(\E[X^{2}] = \lambda^{2} + \lambda\)，故 \(\Var(X) = \lambda^{2} + \lambda - \lambda^{2} = \lambda\)。\(\blacksquare\)
(c) 「均值 \(=\) 變異數」是卜瓦松的內建承諾，不是資料的普遍事實。拿到計數資料先比較兩個樣本量：接近則卜瓦松是合理起點；若變異數明顯大於均值（最常見的偏離，源於群聚到達或率的異質性），即過度離散，應改用負二項等更有彈性的模型。
(a) 「\(X > k\)」等價於「前 \(k\) 次全部失敗」，由獨立性相乘得 \((1-p)^{k}\)。（級數驗證：\(\sum_{j=k+1}^{\infty} (1-p)^{j-1} p = p(1-p)^{k} \cdot \frac{1}{p} = (1-p)^{k}\)，幾何級數求和。）
(b) 事件 \(\{X > m+n\}\) 包含於 \(\{X > m\}\)，故 \[\Prob(X > m+n \mid X > m) = \frac{(1-p)^{m+n}}{(1-p)^{m}} = (1-p)^{n} = \Prob(X > n). \qquad \blacksquare\]
(c) 兩者的尾機率都是時間的指數衰減：幾何是 \((1-p)^{k} = e^{k \ln(1-p)}\)（離散步伐），指數是 \(e^{-\lambda t}\)（連續時間）——把指數分布只在整數時刻取樣就得到幾何；兩者也分別是各自世界中唯一無記憶的分布。賭徒謬誤：由 (b)，「已連輸 10 把」之下接下來的分布與剛坐下時一模一樣——獨立試驗沒有帳本，不會「欠」你一次成功。
(a) 卜瓦松 \(\mathrm{Poi}(\lambda)\)，\(\lambda\) 為每小時平均車流量：連續時間的計數、無自然上限。若尖峰離峰混用同一個 \(\lambda\)、或車輛成隊通過（不獨立），會失準（過度離散）。
(b) 二項 \(\mathrm{Bin}(100, p)\)，\(p\) 為單一顧客的下單率：固定 \(n = 100\) 的獨立是／否試驗。若 \(p\) 很小可用 \(\mathrm{Poi}(100p)\) 近似。
(c) 指數 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\)，\(1/\lambda\) 為平均壽命：「不會老化」正是無記憶性的白話文。會磨損的零件應改用 Weibull 或 Gamma。
(d) 幾何 \(\mathrm{Geom}(1/6)\)：獨立重複試驗等第一次成功，期望擲 6 次。
(e) 常態 \(N(\mu, \sigma^{2})\)：身高是大量基因與環境小效應之和，中央極限定理使其趨向高斯。
(f) Beta \(\mathrm{Beta}(\alpha, \beta)\)：點擊率是 \([0,1]\) 上的未知機率，Beta 是「機率的分布」、白努利資料的共軛先驗。
記 \(p = \lambda/n\)，把 PMF 整理成四個因子： \[\Prob(X_n = k) = \binom{n}{k} \Bigl(\frac{\lambda}{n}\Bigr)^{k} \Bigl(1 - \frac{\lambda}{n}\Bigr)^{n-k} = \underbrace{\frac{\lambda^{k}}{k!}}_{\text{(i)}} \cdot \underbrace{\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}}_{\text{(ii)}} \cdot \underbrace{\Bigl(1 - \frac{\lambda}{n}\Bigr)^{n}}_{\text{(iii)}} \cdot \underbrace{\Bigl(1 - \frac{\lambda}{n}\Bigr)^{-k}}_{\text{(iv)}}.\] 逐一取 \(n \to \infty\) 的極限（\(k\) 固定）：(i) 與 \(n\) 無關；(ii) \(= \prod_{j=0}^{k-1} (1 - j/n) \to 1\)；(iii) \(\to e^{-\lambda}\)（取對數：\(n \ln(1 - \lambda/n) = n\bigl(-\lambda/n + O(n^{-2})\bigr) \to -\lambda\)）；(iv) \(\to 1\)（底趨近 1、次方固定）。四者相乘即得 \[\lim_{n \to \infty} \Prob(X_n = k) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}. \qquad \blacksquare\] 「均值 \(=\) 變異數」的由來：\(X_n\) 的均值恆為 \(\lambda\)，變異數 \(\lambda(1 - \lambda/n) \to \lambda\)——極限把因子 \((1-p)\) 送到 1，變異數在極限中追平均值。
參考程式與輸出：
import numpy as np from scipy import stats rng = np.random.default_rng(0) for k in range(7): # (a) 二項 vs 卜瓦松對照 print(k, round(stats.binom.pmf(k, 100, 0.03), 4), round(stats.poisson.pmf(k, 3), 4)) gaps = rng.exponential(scale=1/3, size=(200_000, 40)) # (b) Exp 間隔 counts = (np.cumsum(gaps, axis=1) <= 1.0).sum(axis=1) # 單位時間到達數 print(counts.mean(), counts.var()) # 皆約 3：均值 = 變異數 print((counts >= 2).mean()) # 約 0.801（理論 0.8009） for k in [1, 2, 3]: # (c) 68-95-99.7 print(k, round(stats.norm.cdf(k) - stats.norm.cdf(-k), 4))
說明：(a) 兩欄與例 4.3 一致，逐點差距不超過 \(0.0035\)。(b) 模擬得到均值與變異數皆 \(\approx 3.00\)、\(\Prob(N \ge 2) \approx 0.801\)，與例 4.2 的 \(1 - 4e^{-3} \approx 0.8009\) 吻合。(c) 輸出 \(0.6827\)、\(0.9545\)、\(0.9973\)。
下一章：多個隨機變數——聯合分布、共變異數與相關。