先複習兩種電晶體的開關規則（第四週講義）：

CMOS 的設計配方：每個閘 = 上拉網路 （p 型，接 \(V_{dd}\)，負責輸出 1）＋下拉網路 （n 型，接 \(V_{ss}\)，負責輸出 0）， 兩個網路互補——任何輸入組合下恰好一邊導通， 輸出永遠被明確驅動，且沒有從 \(V_{dd}\) 直通 \(V_{ss}\) 的漏電路徑。

(1) NOT \(A\)（2 顆）。

\(A=0\)：p 導通、n 斷開 \(\Rightarrow Q\) 被拉到 \(V_{dd}\)（1）； \(A=1\)：p 斷開、n 導通 \(\Rightarrow Q\) 被拉到 \(V_{ss}\)（0）✓。

(2) \(A\) NAND \(B\)（4 顆）：p 並聯、n 串聯。

輸出為 0 的唯一條件是 \(A=B=1\) \(\Rightarrow\) 下拉路徑必須「兩個都導通才通」——串聯； 輸出為 1 的條件是「任一為 0」\(\Rightarrow\) 上拉路徑「任一導通就通」——並聯。

逐列驗證：\(A{=}B{=}0\)：兩 p 皆通 \(\to Q{=}1\)； \(A{=}0,B{=}1\)：\(p_A\) 通 \(\to Q{=}1\)； \(A{=}1,B{=}0\)：\(p_B\) 通 \(\to Q{=}1\)； \(A{=}B{=}1\)：兩 n 皆通 \(\to Q{=}0\) ✓（正是 NAND）。

(3) \(A\) NOR \(B\)（4 顆）：p 串聯、n 並聯。

與 NAND 完全對偶：輸出為 1 的唯一條件是 \(A=B=0\) \(\Rightarrow\) 上拉串聯；任一為 1 就輸出 0 \(\Rightarrow\) 下拉並聯。

(4) \(A\) AND \(B\)（6 顆）＝ NAND ＋ NOT。

CMOS 天生只會做「反相」閘（p 在上拉、n 在下拉的結構 必然輸出反函數）。要做 AND，把 (2) 的輸出接到 (1) 的輸入： \(A \land B = \lnot(A \barwedge B)\)。共 \(4+2=6\) 顆。

(5) \(A\) OR \(B\)（6 顆）＝ NOR ＋ NOT。

同理：\(A \lor B = \lnot(A \downarrow B)\)， 把 (3) 的輸出接反相器。共 \(4+2=6\) 顆。

Logisim 組裝細節（wiring 函式庫）：

• p 型朝南（facing south）：訊號從上方的 \(V_{dd}\) 流向下方輸出——p 型負責「往下推 1」； n 型朝北（facing north）：訊號從下方的 \(V_{ss}\) 流向上方輸出——n 型負責「往上拉 0」。 箭頭方向就是電流容許的流向，接反了值傳不過去；

• gate 腳位在側面（屬性 Gate Location 可選左右）， p 型的 gate 有小圓圈（「0 才動作」的記號， 與主動低的氣泡是同一語言）；

• Logisim 的電晶體是數位近似：不導通時輸出 浮接（Z）；若浮接值再穿過另一顆導通的電晶體， 某些版本會變成錯誤值（紅線）—— 這發生在串聯堆疊的中間節點 （例如 NAND 的 \(A{=}1,B{=}0\) 時）。 遇到紅線可在中間節點加一顆 pull resistor （wiring 函式庫）救援，或改用官方 Logisim 2.7；

• 逐閘驗證：接 1 位元輸入腳位、 用手（poke 工具）跑完整張真值表再往下一題。

先回顧課堂的 one-shot。 one-shot 把「長按的 1」變成「恰好一拍的 1」。 講義給了兩個版本：

• Moore 版（3 狀態、2 個正反器）： \(X_{new} = (X \lor Y) \land in\)、 \(Y_{new} = \lnot X \land \lnot Y \land in\)、 \(out = Y\)；

• Mealy 版（1 個正反器）： 用正反器把輸入本身存一拍，\(S_{new} = in\)， \(out = \lnot S \land in\) ——「現在是 1、上一拍是 0」＝剛升起。

做法一：用 one-shot 子電路組裝（2 個 one-shot ＋ 1 個 NOT）。

關鍵觀察：in 的下降緣就是 \(\lnot\)in 的上升緣。所以：

rise \(=\) one-shot\((\)in\()\)： in 升起後脈衝一拍 ✓； fall \(=\) one-shot\((\lnot\)in\()\)： in 降下（\(\lnot\)in 升起）後脈衝一拍 ✓。 在 Logisim 中把課堂下載的 one-shot 電路存成 subcircuit， 放兩份即可。

做法二：直接改造 Mealy 設計（1 個正反器＋ 2 個 AND ＋ 1 個 NOT）。

Mealy one-shot 的正反器存的是「上一拍的輸入」\(S\)。 比較 \(S\)（過去）與 in（現在）就能同時偵測兩種邊緣：

\[\texttt{rise} = in \land \lnot S, \qquad \texttt{fall} = \lnot in \land S.\]

省閘技巧（講義同款）：\(\lnot S\) 不必用 NOT 閘—— D 正反器本來就有 \(\bar Q\) 輸出。 上圖 rise 用了 \(Q\)……更精確的接法： rise \(= in \land \bar Q\)（接 \(\bar Q\)）、 fall \(= \lnot in \land Q\)（接 \(Q\)， in 過一個 NOT）。總成本： 1 個正反器、2 個 AND、1 個 NOT。

行為驗證（時脈邊緣編號 \(t_0, t_1, \dots\)）： 設 in 在 \(t_1\) 與 \(t_2\) 之間升起。 \(t_2\) 時 \(S\) 仍是 0（上一拍存的），in 已是 1 \(\Rightarrow\) rise\(=1\)；\(t_2\) 邊緣後 \(S\) 更新為 1 \(\Rightarrow\) \(t_3\) 起 rise\(=0\)—— 恰好一拍的脈衝 ✓。下降對稱同理 ✓。

架構：一顆 16 位元暫存器 ＋ 「下一個值」的組合邏輯。 「邊緣之後保持不變」直接告訴我們核心是邊緣觸發的 暫存器；三種行為只是決定下一個值是什麼—— 用三顆 16 位元 2-to-1 多工器逐級選擇：

\[next \;=\; \underbrace{\mathrm{MUX}\bigl( \underbrace{\mathrm{MUX}\bigl( \underbrace{\mathrm{MUX}(out,\, out+1,\; inc)}_{m_1}, \; in,\; load\bigr)}_{m_2}, \; 0,\; reset\bigr)}_{m_3}\]

Logisim 組裝清單：

• 暫存器：memory 函式庫 Register， Data Bits \(= 16\)，時脈直接接上、 enable 恆為 1（每個上升緣都寫入 \(next\)—— 三個控制都是 0 時 \(m_1\) 選的是 out 自己， 寫回原值等於「保持」）；

• 加一器：arithmetic 函式庫的 Adder （一端接常數 1）；若想貫徹第二週精神， 可用自己做的 4 位元遞增器擴成 16 位元；

• 三顆 MUX：plexers 函式庫， Data Bits \(= 16\)、Select Bits \(= 1\)； 選擇端分別接 inc、load、reset；

• 常數 0：wiring 函式庫 Constant （Data Bits \(= 16\)、值 0x0000）。

為什麼把 reset 放在最後一級？ 離暫存器最近的 MUX 優先權最高。題目雖保證三者至多一個為高， 但把優先序排成 \(reset > load > inc\) 是業界慣例（重開機必須壓倒一切）—— 這恰好是 nand2tetris 的 PC 晶片規格：

驗證流程： reset 打一拍 \(\to\) out\(=0\)； inc\(=1\) 連走五拍 \(\to\) 0,1,2,3,4,5； load 配 in\(=100\) 打一拍 \(\to\) 100； 再 inc 兩拍 \(\to\) 101, 102； 全部拉 0 走幾拍 \(\to\) 維持 102 ✓。

（弧上的數字是輸入 change 的值。）

這是 Moore 機。判準：輸出（亮哪盞燈） 只由目前狀態決定——狀態位元本身就是輸出， 輸入 change 只影響轉移到哪裡， 不直接影響輸出。若輸出同時取決於狀態與當下輸入 （像第 2 節 Mealy 版 one-shot 的 \(out = \lnot S \land in\)），才是 Mealy 機。

one-hot 編碼讓下一狀態邏輯出奇地簡單。 「進到下一個狀態」= 把那顆 1 往右輪轉一格 （\(F\) 之後繞回 \(G\)）；「不動」= 各位元保持。 每個位元的方程式： \[\begin{aligned} G_{new} &= (change \land F) \lor (\lnot change \land G),\\ A_{new} &= (change \land G) \lor (\lnot change \land A),\\ R_{new} &= (change \land A) \lor (\lnot change \land R),\\ F_{new} &= (change \land R) \lor (\lnot change \land F). \end{aligned}\] 硬體上這是一個可控輪轉的環形移位暫存器： 4 顆 D 正反器排成環，每顆 D 輸入前放一顆 2-to-1 MUX （select \(=\) change；0 端接自己的 \(Q\)、 1 端接前一顆的 \(Q\)）。

開機初始化——one-shot 登場。 Logisim 的正反器開機全為 0，狀態 \(0000\) 不合法 （沒有任何燈亮，而且 0 在環裡轉永遠是 0000）。 解法：把常數 1 接進課堂 one-shot—— 開機後它會輸出恰好一拍的脈衝 \(init\)； 用 OR 閘把 \(init\) 注入綠位元： \[G_{new} = init \lor \bigl[(change \land F) \lor (\lnot change \land G)\bigr].\] 第一拍過後 \(G=1\)、其餘為 0，狀態機從綠燈正常起跑 （題目允許「開機後前幾拍內」就位）✓。

更穩健的替代方案（非必要但值得知道）： \(init = \lnot(G \lor A \lor R \lor F)\)—— 「四個位元全滅」本身就是非法訊號，用一顆 NOR 偵測並注入 \(G\)。 好處是電路自我修復：即使日後因雜訊掉進非法狀態， 下一拍就會回到綠燈。

先做提示的相等比較器。 兩個位元相等 \(\Leftrightarrow\) XNOR 為 1； 兩個 16 位元數相等 \(\Leftrightarrow\) 每一對位元 都相等： \[equal = \bigwedge_{i=0}^{15} \lnot(a_i \oplus b_i) \qquad \text{（16 顆 XNOR ＋ AND 樹）}\] Logisim 實作：兩個 splitter 把 16 位元拆開、 16 顆 XNOR、再用多輸入 AND（屬性可調到 16 輸入， 或蓋一棵兩兩 AND 的樹）。存成子電路 Equals16。

計時器主體 = 計數器 ＋ 比較器 ＋ 控制。 直接復用第 3 節的程式計數器：

三條控制訊號的邏輯：

• 歸零：start 的上升緣 （one-shot 產生的一拍脈衝）接計數器的 reset ——每次啟動從 0 重新數；

• 計數：\(inc = start \land \lnot equal\) ——start 為高且還沒數到目標就繼續加一； 數到之後 \(inc\) 變 0，計數器凍結在 time， \(equal\) 因此持續為真（訊號自我保持，不需要另加閂鎖）；

• 完成：\(done = start \land equal\) ——start 拉回 0 的瞬間 done 跟著歸 0， 完全符合「維持到 start 變回 0 為止」。

時序驗證：start 升起（第 0 拍歸零）， 第 1 拍起計數 \(1, 2, \dots\)，第 time 拍 計數值到達 time \(\Rightarrow\) done 升起 ——恰好等了 time 個時脈週期 ✓。

第一步：把「秒」換算成「拍」。 時脈 512Hz \(\Rightarrow\) 每秒 512 拍：

第二步：頂層架構。 兩個子電路的分工：狀態機管「現在哪個燈」、 計時器管「什麼時候換」。膠合邏輯只有三件事：

1. 啟動：按鈕過 one-shot 變成一拍脈衝 \(press\)（行人按多久都只算一次）。 \(change = press \lor done\)——按下按鈕（綠\(\to\)黃立即） 或計時到期（其餘轉移）都推進狀態；

2. 選時間：\(time\) 由目前狀態經 MUX 選出—— \(A \to 1024\)、\(R \to 7680\)、\(F \to 2560\) （三個 16 位元常數＋用狀態位元當選擇的 MUX； one-hot 編碼下可直接用兩顆 4-to-1 MUX 的組合， 或最簡單：\(time = (A{\cdot}1024) \lor (R{\cdot}7680) \lor (F{\cdot}2560)\)，每個常數與其狀態位元逐位 AND 再 OR 起來——不會衝突，因為恰好一個狀態位元為 1）；

3. 何時計時：\(start = A \lor R \lor F\) （綠燈不計時，等按鈕）。 關鍵細節：黃\(\to\)紅、紅\(\to\)閃黃的轉移瞬間 \(start\) 保持為 1 不會有下降緣，計時器的內部 one-shot 偵測不到「重新啟動」——所以計時器的歸零訊號 要改接頂層的 \(change\) 脈衝（每次進入新狀態就重數）， 這是對 4.3 子電路的一行小改（把 reset 輸入外露）。 改完後 \(done\) 每次到期只持續到下一拍 （計數器被 \(change\) 歸零、\(equal\) 隨即消失）， 恰好是一拍的 \(change\) 脈衝——時序自洽 ✓。

第三步：閃爍子電路（提示要求的）。 閃爍頻率約 1.25Hz \(\Rightarrow\) 完整亮滅週期 \(= 512 / 1.25 = 409.6\) 拍 \(\Rightarrow\) 每 \(\approx 205\) 拍翻轉一次 （\(512/(2 \times 205) = 1.2488\)Hz ✓「約 1.25Hz」）。 組件：

• 一顆小計數器＋Equals16（比對 204）： 數到 204 就發脈衝 \(tick\) 並自我歸零 （\(tick\) 接回計數器 reset）——「每 205 拍一個脈衝」；

• 一顆 T 正反器（上週做的！）：由 \(tick\) 觸發翻轉， 輸出 \(blink\)；

• 以亮起開始：進入閃黃的那一拍 （\(change \land R\)，即「紅燈時發生轉移」） 把 T 正反器設為 1、小計數器歸零—— 燈先亮滿 0.4 秒再開始交替。

最後把燈接起來： \[\text{綠燈} = G, \qquad \text{黃燈} = A \lor (F \land blink), \qquad \text{紅燈} = R.\]

整體驗證（Logisim 時脈設 512Hz， Simulate \(\to\) Auto-Tick）： 按一下按鈕 \(\to\) 黃燈立亮；約 2 秒後轉紅； 約 15 秒後黃燈開始閃（先亮）； 約 5 秒後回綠、靜候下一位行人 ✓。