電子硬體常用公式整理。
一、基本電學
歐姆定律
$$ V = I \cdot R \quad I = \frac{V}{R} \quad R = \frac{V}{I} $$
功率
$$ P = V \cdot I = I^2 \cdot R = \frac{V^2}{R} $$
電能
$$ W = P \cdot t \quad [\mathrm{J}] $$
Kirchhoff 定律
- KCL：$\sum I_{in} = \sum I_{out}$
- KVL：$\sum V_{loop} = 0$
串並聯
- 串聯電阻：$R_{total} = R_1 + R_2 + \cdots$
- 並聯電阻：$\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots$
- 串聯電容：$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots$
- 並聯電容：$C = C_1 + C_2 + \cdots$
- 串聯電感：$L = L_1 + L_2 + \cdots$
- 並聯電感：$\frac{1}{L} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \cdots$
分壓 / 分流
- $V_{R_2} = V_{in} \cdot \dfrac{R_2}{R_1+R_2}$
- $I_{R_1} = I_{total} \cdot \dfrac{R_2}{R_1+R_2}$（並聯）
二、AC 與相量
角頻率
$$ \omega = 2\pi f $$
阻抗
- 電阻：$Z_R = R$
- 電感：$Z_L = j\omega L$
- 電容：$Z_C = \dfrac{1}{j\omega C} = -\dfrac{j}{\omega C}$
RMS（正弦）
$$ V_{RMS} = \frac{V_p}{\sqrt{2}} \quad I_{RMS} = \frac{I_p}{\sqrt{2}} $$
平均功率
$$ P = V_{RMS} \cdot I_{RMS} \cdot \cos\phi $$
功率因數
$$ PF = \cos\phi $$
三、電容 / 電感
電容
- $Q = CV$
- $i = C\dfrac{dv}{dt}$
- $E = \frac{1}{2}CV^2$
電感
- $v = L\dfrac{di}{dt}$
- $E = \frac{1}{2}LI^2$
RC 充放電
- 時間常數：$\tau = RC$
- 充電：$v(t) = V_f(1 - e^{-t/\tau})$
- 放電：$v(t) = V_0 e^{-t/\tau}$
RL 暫態
- 時間常數：$\tau = L/R$
LC 諧振
- $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
- 品質因數：$Q = \dfrac{\omega_0 L}{R} = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$
四、二極體 / 電晶體
二極體（Shockley）
$$ I = I_S\left(e^{V/(n V_T)} - 1\right) $$
熱電壓：$V_T = kT/q \approx 25.85\ \mathrm{mV}\ \text{(at 300K)}$
BJT（主動區）
- $I_C = \beta I_B$
- $I_E = I_C + I_B = (\beta + 1)I_B$
- $V_{BE} \approx 0.7\ \mathrm{V}$
- 跨導：$g_m = I_C / V_T$
- $r_\pi = \beta / g_m$
- $r_o = V_A / I_C$
MOSFET 飽和區
$$ I_D = \frac{1}{2}\mu C_{ox}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{TH})^2 $$ - 跨導：$g_m = \mu C_{ox}\dfrac{W}{L}(V_{GS}-V_{TH}) = \sqrt{2 I_D \mu C_{ox} W/L}$ - 線性區：$I_D = \mu C_{ox}\dfrac{W}{L}\left[(V_{GS}-V_{TH})V_{DS} - \dfrac{V_{DS}^2}{2}\right]$
五、放大器 / OPAMP
反相
$$ A_v = -\frac{R_f}{R_{in}} $$
非反相
$$ A_v = 1 + \frac{R_f}{R_{in}} $$
緩衝器
$$ A_v = 1 $$
加法器
$$ V_o = -R_f!\left(\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}+\cdots\right) $$
差動放大
$$ V_o = (V_2 - V_1)\frac{R_f}{R_1}\quad (\text{平衡}) $$
微分器
$$ V_o = -RC\frac{dV_{in}}{dt} $$
積分器
$$ V_o = -\frac{1}{RC}\int V_{in}\, dt $$
GBW
$$ A \cdot BW = GBW = \text{const} $$
轉換速率
$$ SR = \left|\frac{dV_o}{dt}\right|_{max} $$
噪音電壓
$$ V_n = \sqrt{4 k T R \cdot BW}\quad (\text{熱雜訊}) $$
六、濾波器
一階 RC LPF
$$ f_c = \frac{1}{2\pi RC} $$
一階 RL LPF
$$ f_c = \frac{R}{2\pi L} $$
Sallen-Key 二階
$$ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}} $$
七、電源
Buck 工作週期
$$ D = \frac{V_{out}}{V_{in}} $$
Boost
$$ \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1}{1-D} $$
Buck-Boost
$$ \frac{V_{out}}{V_{in}} = -\frac{D}{1-D} $$
電感紋波
$$ \Delta I_L = \frac{V_L \cdot t_{on}}{L} $$
輸出電容紋波（Buck）
$$ \Delta V_{out} = \frac{\Delta I_L}{8 f C} $$
變壓器
- 匝數比：$\dfrac{V_p}{V_s} = \dfrac{N_p}{N_s}$
- 阻抗變換：$\dfrac{Z_p}{Z_s} = \left(\dfrac{N_p}{N_s}\right)^2$
八、訊號完整性
反射係數
$$ \Gamma = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} $$
VSWR
$$ VSWR = \frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|} $$
微帶線阻抗（近似）
$$ Z_0 \approx \frac{87}{\sqrt{\varepsilon_r + 1.41}}\ln!\left(\frac{5.98 h}{0.8 W + t}\right) $$
傳輸線傳輸延遲
$$ t_d = \frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{c}\ \mathrm{[s/m]} $$
FR4：$\varepsilon_r \approx 4.5$，$t_d \approx 7\ \mathrm{ns/m} \approx 170\ \mathrm{ps/inch}$
上升時間 vs 頻寬
$$ BW \approx \frac{0.35}{t_r} $$
九、雜訊與訊號
分貝
$$ A_{dB} = 20\log_{10}!\left(\frac{V_o}{V_i}\right) = 10\log_{10}!\left(\frac{P_o}{P_i}\right) $$
dBm
$$ P_{dBm} = 10\log_{10}!\left(\frac{P}{1\,\mathrm{mW}}\right) $$
熱雜訊（Johnson）
$$ v_n = \sqrt{4 k T R \Delta f} $$
Friis 雜訊指數
$$ NF_{total} = NF_1 + \frac{NF_2 - 1}{G_1} + \frac{NF_3 - 1}{G_1 G_2} + \cdots $$
十、ADC / DAC
量化解析度
$$ LSB = \frac{V_{ref}}{2^N} $$
理想 SNR（N-bit）
$$ SNR = 6.02 N + 1.76\ [\mathrm{dB}] $$
ENOB
$$ ENOB = \frac{SINAD - 1.76}{6.02} $$
取樣定理
$$ f_s \geq 2 f_{max} $$
十一、邏輯與時序
工作頻率
$$ f_{max} = \frac{1}{T_{clk\to Q} + T_{logic} + T_{setup} + T_{skew}} $$
CMOS 動態功耗
$$ P = C V^2 f $$
CMOS 漏電功耗
$$ P_{static} = V_{DD} \cdot I_{leak} $$
十二、熱
熱阻計算
$$ T_J = T_A + P \cdot \theta_{JA} $$
串聯熱阻
$$ \theta_{total} = \theta_{JC} + \theta_{CS} + \theta_{SA} $$
十三、其他常用
串聯電阻校驗（10 mA LED 限流）
$$ R = \frac{V_{cc} - V_F}{I_F} $$
MCU 晶振準確度（ppm）
$$ \Delta f = f_0 \cdot ppm \cdot 10^{-6} $$
電池容量轉換
$$ \mathrm{Wh} = \mathrm{Ah} \times V $$
電容能量
$$ E = \frac{1}{2}CV^2 $$
電感能量
$$ E = \frac{1}{2}LI^2 $$