第 1 章 1：電學基礎

本章奠定整套教材的基礎。即使您學過，請仔細複習。

一、電壓、電流、電阻

1. 電流（Current, I）

定義：單位時間內通過某一導體斷面的電荷量。

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

單位：安培（A）= 庫侖/秒（C/s）
1 A 表示每秒有 1 庫侖（≈ 6.24 × 10¹⁸ 個電子）通過

方向約定：傳統電流方向 = 正電荷流動方向 = 電子流動的反方向。

典型電流：

應用	電流
心臟感知	1 µA
助聽器	10 µA
MCU IO	1–20 mA
LED	5–20 mA
一般 IC 工作電流	10–500 mA
智慧型手機充電	1–5 A
家電（冰箱、冷氣）	1–10 A
電動車快充	100–500 A

2. 電壓（Voltage, V）

定義：單位電荷在電場中具有的能量差，又稱「電位差」。

$$V_{AB} = \frac{W_{AB}}{Q}$$

單位：伏特（V）= 焦耳/庫侖（J/C）
A 點比 B 點高 V 伏特，表示每 1 庫侖正電荷從 A 移到 B 會釋放 V 焦耳能量

典型電壓：

應用	電壓
神經訊號	70 mV
鋰電池單顆	3.0–4.2 V
TTL/CMOS 邏輯	3.3 V / 5 V
USB	5 V
汽車電瓶	12–14 V
一般家用 AC	110/220 V
工業 AC 三相	380 V
高壓輸電	kV–MV 級

3. 電阻（Resistance, R）

定義：物體對電流通過的「阻礙」程度。

單位：歐姆（Ω）= V/A

物理本質：電子在導體中流動時與晶格碰撞造成的能量損耗。

電阻計算（對均勻導體）：

$$R = \rho \frac{L}{A}$$

其中： - ρ：電阻率（resistivity, Ω·m） - L：長度（m） - A：截面積（m²）

常見材料電阻率（20°C）：

材料	電阻率（Ω·m）
銀 Ag	1.59 × 10⁻⁸
銅 Cu	1.68 × 10⁻⁸
金 Au	2.44 × 10⁻⁸
鋁 Al	2.65 × 10⁻⁸
鎢 W	5.6 × 10⁻⁸
鎳鉻合金	1.10 × 10⁻⁶
矽（純）	約 6.4 × 10²
玻璃	10¹⁰–10¹⁴
石英	> 10¹⁶

觀察：銅是最常用的導線材料（成本/導電率最佳），銀導電性更好但太貴。

二、歐姆定律（Ohm's Law）

電子學最重要的公式：

$$\boxed{V = I \times R}$$

或變形：

$$I = \frac{V}{R}, \quad R = \frac{V}{I}$$

實例計算

例 1：5 V 電源接 1 kΩ 電阻，電流多少？

$$I = \frac{5 \text{ V}}{1000 \text{ Ω}} = 5 \text{ mA}$$

例 2：LED 順向壓降 2 V，要 10 mA 電流，由 5 V 電源驅動，需要多大電阻？

電阻兩端電壓 = 5 V − 2 V = 3 V

$$R = \frac{3 \text{ V}}{0.01 \text{ A}} = 300 \text{ Ω}$$

例 3：發現電路中電阻兩端 1.2 V，標示為 4.7 kΩ，電流多少？

$$I = \frac{1.2}{4700} ≈ 0.255 \text{ mA} = 255 \text{ µA}$$

注意：歐姆定律的適用範圍

歐姆定律僅適用於： - 線性電阻元件（電阻不隨電壓電流改變）

不適用於： - 二極體、電晶體（非線性元件） - 高溫下的電阻（電阻會隨溫度變化）

三、功率（Power, P）

公式

$$P = V \times I$$

代入歐姆定律可得三個變形：

$$P = V I = I^2 R = \frac{V^2}{R}$$

單位：瓦特（W）= 焦耳/秒
1 度電 = 1 kWh = 3.6 × 10⁶ J

電阻消耗的功率

電流通過電阻時，能量轉換為熱能（焦耳熱）。

例：1 kΩ 電阻接 5 V，消耗多少功率？

$$P = \frac{V^2}{R} = \frac{25}{1000} = 25 \text{ mW}$$

設計時要選擇耐功率夠的電阻。常見封裝： - 0402 SMD：1/16 W - 0603 SMD：1/10 W - 0805 SMD：1/8 W - 1206 SMD：1/4 W - 通孔 1/4 W、1/2 W、1 W、2 W、5 W、10 W…

四、直流（DC）與交流（AC）

直流（Direct Current, DC）

電壓電流不隨時間變化（或變化很慢）。

範例：電池、USB 5V、IC 內部供電。

交流（Alternating Current, AC）

電壓電流隨時間（通常正弦地）變化方向。

範例：家用插座（60 Hz, 110V RMS in TW）、訊號波形。

正弦波參數

$$v(t) = V_m \sin(2\pi f t + \varphi)$$

峰值（Peak）V_m：最大瞬時值
峰對峰值（Peak-to-Peak）V_pp：= 2 V_m
有效值（RMS）V_rms：= V_m / √2 ≈ 0.707 V_m
頻率 f：每秒週期數（Hz）
週期 T：T = 1/f
相位 φ：起始相位

110V AC 的「110V」是 RMS 值，峰值約 155.6 V，峰對峰約 311 V。

為什麼用 RMS？

RMS 值代表「等效熱效應」：1 V RMS 的 AC 在電阻上產生的熱，等於 1 V 的 DC。這對電源、加熱應用很重要。

五、電路與接地

電路（Circuit）

電流必須有「完整迴路」才能流動。從電源正極出發，經過負載，回到電源負極。

       ┌─────[ R ]─────┐
       │               │
     [ V+ ]          [ V− ]
       │               │
       └───────────────┘

接地（Ground, GND）

「接地」在電子電路中的意義：

電位參考點（reference）：所有電壓都相對 GND 量
訊號回流路徑（return path）：電流的回路
真正的大地（earth ground）：建築物接地、安規接地

在 PCB 上，「GND」通常是參考地，不一定真的接到地球。

多種「地」的概念

種類	符號	用途
訊號地 SGND	⏚	一般訊號參考
電源地 PGND	⏚	大電流回流（如功率級）
機殼地 / 大地	⏚（三角形）	安規、屏蔽

PCB 設計時，類比地（AGND）與數位地（DGND）通常分開，最後在某點單點連接，避免數位雜訊污染類比訊號。

六、串聯與並聯

串聯（Series）

元件首尾相接，電流相同。

電阻串聯：

$$R_{total} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n$$

例：1k + 2k + 3k 串聯 = 6 kΩ

電壓在串聯電阻上的分配（分壓法則 Voltage Divider）：

$$V_x = V_{in} \times \frac{R_x}{R_{total}}$$

例：5 V 跨 1k + 4k 串聯，1k 兩端電壓？

$$V_{1k} = 5 \times \frac{1000}{5000} = 1 \text{ V}$$

並聯（Parallel）

元件兩端各自相連，電壓相同。

電阻並聯：

$$\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots$$

兩個並聯特例：

$$R_{total} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

例：1k 並 2k = 1000×2000/(1000+2000) = 666.67 Ω

並聯特性： - 並聯結果一定 < 最小的那個 - 兩個相同電阻並聯 = 一半

電流在並聯電阻上的分配（分流法則）：

$$I_x = I_{total} \times \frac{R_{other}}{R_x + R_{other}}$$

提示：並聯時，電流走阻抗小的路徑較多。

串並聯混合

逐步化簡：先處理最內層，往外推。

例題：求下圖總電阻

          ┌───[ 2k ]───┐
A ───[1k]─┤            ├─── B
          └───[ 4k ]───┘

並聯部分：2k || 4k = 8000/6000 = 1.333 kΩ

串聯：1k + 1.333k = 2.333 kΩ

七、克希荷夫定律（Kirchhoff's Laws）

電路分析的基石。

KCL（電流定律）

流入節點的電流總和 = 流出節點的電流總和

$$\sum I_{in} = \sum I_{out}$$

或寫成：

$$\sum I = 0$$

物理本質：電荷守恆。

KVL（電壓定律）

沿任一封閉迴路，電壓代數和 = 0

$$\sum V = 0$$

物理本質：能量守恆。

KCL/KVL 解題範例

    R1 = 1k        R2 = 2k
  ┌──[==]──┬──────[==]──┐
+ │        │              │
V1=10V    R3=3k           +
- │        │            V2=5V
  │        │              -
  └────────┴──────────────┘

設左迴路電流為 I1，右迴路電流為 I2：

KCL on middle node (穿過 R3 的電流) = I1 − I2

KVL 左迴路：10 = 1k·I1 + 3k·(I1 − I2) KVL 右迴路：5 = 2k·I2 − 3k·(I1 − I2)（注意符號）

解聯立方程式即可。詳細在 11-基本電路定律.md 展開。

八、電路常用測量量

1. 電壓量測

用三用電表「電壓檔」並聯接於待測元件兩端。

三用電表電壓檔輸入阻抗高（10 MΩ 以上），不會干擾電路。

2. 電流量測

用三用電表「電流檔」串聯接入電路。

⚠️ 危險：電流檔內阻很低，若誤接於電壓兩端會「短路」，可能燒掉表頭或保險絲。

3. 電阻量測

需斷電後測量，三用電表的電阻檔會輸出小電流量測。

在電路上的電阻量測會被其他並聯元件影響，常需取下單測。

4. 示波器量測

觀察「電壓隨時間變化」的波形，是電子工程師最重要的工具之一。

九、實務經驗法則

1. 「水流類比」鞏固直覺

電學	水流
電壓 V	水壓（高低差）
電流 I	水流速率
電阻 R	水管粗細（細管阻力大）
電容 C	水塔（儲水）
電感 L	水車慣性
電源	抽水馬達
開關	水閥

2. 「不要假設電流方向」

設計時無法立刻知道電流流向就先假設，計算結果若是負值表示實際方向相反。

3. 「先估算再精算」

設計前用粗略計算（一位有效數字）確認量級對，再用精確值計算。這能避免「單位錯一個數量級」的低級錯誤。

4. 「典型值優先 datasheet」

設計時用 datasheet 的「typical」值估算，但驗證時要用「max/min」確認最壞情況。

十、本章總結

✅ 您現在應該掌握：

[x] 電流、電壓、電阻、功率的定義與單位
[x] 歐姆定律 V = IR 的應用
[x] 三種功率公式 P = VI = I²R = V²/R
[x] DC vs AC，正弦波的峰值、RMS、頻率
[x] 串聯/並聯計算
[x] 分壓、分流公式
[x] KCL、KVL 的物理意義
[x] 接地的多種意義
[x] 量測時表頭的接法

自我檢測

一顆 10 kΩ 電阻接 12 V，電流多少？消耗功率多少？
三個電阻 1k、2k、3k 並聯，總電阻多少？
為什麼台灣家用 110V 是「110V RMS」而不是峰值？
1k 與 2k 電阻串聯接 9V，2k 兩端電壓多少？
為什麼三用電表測電流要串聯，測電壓要並聯？

答案附在每章末。可參考下方解答區，或自行驗證。

解答

I = 12/10000 = 1.2 mA；P = V²/R = 144/10000 = 14.4 mW
1/(1/1k + 1/2k + 1/3k) = 1/(6/6k + 3/6k + 2/6k) = 6k/11 ≈ 545.5 Ω
RMS 是「等效熱功率」值，更能反映 AC 對負載的實際工作能力
V_2k = 9 × 2k/(1k+2k) = 6 V
電流檔內阻極低（接近短路），並聯電源會燒；電壓檔內阻極高，串聯電路幾乎無電流通過

02-電阻.md — 深入電阻的選用、規格、各種特性。