第 2 章 4：BJT 原理深入

從半導體物理的角度，深入理解 BJT 為什麼能放大。

一、BJT 的內部結構

NPN 結構（精確）

   E (Emitter)        B (Base)         C (Collector)
   N+                  P                N
   ──────             ───              ─────
   高摻雜          薄而低摻雜        中等摻雜
   10¹⁹–10²⁰        10¹⁶–10¹⁷         10¹⁵–10¹⁶

為什麼這樣設計？

1. Emitter 重摻雜（N+）

→ 注入到 Base 的電子量遠大於 Base 注入回 Emitter 的電洞量 → 「注入效率」γ 接近 1

2. Base 薄而低摻雜

→ Emitter 注入的電子在 Base 中能在被復合掉之前快速通過 → 「基極傳輸因子」α_T 接近 1

3. Collector 中等摻雜 + 大面積

→ 高耐壓 → 散熱好

兩個 PN 接面

BE（Base-Emitter）接面：順向偏壓（主動區）
BC（Base-Collector）接面：反向偏壓（主動區）

二、為什麼 BJT 能「放大」？

物理過程（NPN 主動區）

V_BE > 0 → BE 接面順向 → Emitter 注入大量電子到 Base
Base 很薄，電子幾乎不被復合
電子擴散到 BC 接面邊緣
BC 反向偏壓的內建電場「抓住」電子，加速到 Collector
→ 大量電子流入 Collector，由小量 Base 電流控制

α 與 β 的物理意義

α（共基電流增益）

$$\alpha = \frac{I_C}{I_E} = \gamma \cdot \alpha_T$$

γ：注入效率（emitter injection efficiency）
α_T：基極傳輸因子（base transport factor）

典型 α ≈ 0.99–0.998（電子幾乎全部到達 Collector）

β（共射電流增益）

$$\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha} = \frac{I_C}{I_B}$$

α = 0.99 → β = 99 α = 0.995 → β = 199 α = 0.998 → β = 499

α 微小變化 → β 劇烈變化。這就是為什麼 BJT 的 β 量產時離散性大（同型號可能 100–400）。

三、I_C 的精確表達式

跨接面的少數載子擴散

主動區 I_C 由 Emitter 注入到 Base、再越過 BC 接面的電子流主導：

$$I_C = I_S \left( e^{V_{BE}/V_T} - e^{V_{BC}/V_T} \right)$$

主動區 V_BC < 0，第二項可忽略：

$$I_C \approx I_S e^{V_{BE}/V_T}$$

I_S 的內涵

$$I_S = \frac{q A D_n n_i^2}{N_A W_B}$$

A：接面面積
D_n：Base 中電子擴散係數
N_A：Base 摻雜濃度
W_B：Base 寬度

→ I_S 隨 W_B 變窄而增加（Base 越薄，越容易導通）。

四、Early 效應（基極寬度調變）

物理本質

V_CE 增加 → BC 反向偏壓增加 → BC 空乏區擴展到 Base 中 → 有效 Base 寬度 W_B 變短 → I_S 增加 → I_C 增加

    增加 V_CE
       ↓
    BC 空乏區擴展
       ↓
    W_B 變短
       ↓
    I_C 增加（即使 V_BE 不變）

數學表達

$$I_C = I_S e^{V_{BE}/V_T} \left( 1 + \frac{V_{CE}}{V_A} \right)$$

V_A：Early 電壓（典型 50–200V）

對輸出阻抗的影響

$$r_o = \frac{V_A}{I_C}$$

V_A 大 → r_o 大 → 線性放大器增益高（理想是 ∞）。

設計時的考慮

普通 BJT V_A ≈ 50V
高性能 BJT V_A ≈ 200V
IC 中的 BJT 透過「Cascode」結構提升等效 V_A

五、極限與穿通（Punch-through）

反向擊穿

V_CE 過大時： 1. BV_CEO：BE 開路時的擊穿電壓 2. BV_CES：BE 短路 3. BV_CER：BE 接電阻

關係：BV_CES > BV_CER > BV_CEO

穿通（Punch-through）

V_CE 太大時，BC 空乏區直接穿過 Base 到 Emitter，BJT 失去控制。高耐壓 BJT 的 Base 必須足夠厚以避免穿通。

二次擊穿（Second Breakdown）

功率 BJT 中，局部熱點造成的「熱失控」現象，可瞬間燒毀。解方：避免進入 SOA 之外、加熱保護。

六、Ebers-Moll 模型

最完整的大信號模型，描述所有四個工作區：

$$I_E = I_{ES}(e^{V_{BE}/V_T} - 1) - \alpha_R I_{CS}(e^{V_{BC}/V_T} - 1)$$

$$I_C = \alpha_F I_{ES}(e^{V_{BE}/V_T} - 1) - I_{CS}(e^{V_{BC}/V_T} - 1)$$

α_F：順向電流增益
α_R：反向電流增益（很小）

簡化（主動區）

V_BC < 0：

$$I_C = \alpha_F I_{ES} e^{V_{BE}/V_T} = I_S e^{V_{BE}/V_T}$$

飽和區（V_BC > 0）

兩項都重要，I_C 不再呈指數，逐漸飽和：

$$V_{CE(sat)} ≈ V_T \ln\left(\frac{I_C}{\beta I_B - I_C}\right)$$

→ V_CE(sat) 隨 I_C / I_B 比值而變，過驅動越多越接近 0V。

七、Gummel-Poon 模型（SPICE 用）

更精確的 BJT SPICE 模型，包含： - Early 效應（V_AF, V_AR） - 高注入效應 - 串聯電阻（R_E, R_B, R_C） - 接面電容（C_je, C_jc, C_js） - 雜訊模型

這是 LTspice 等模擬軟體的內建模型。 datasheet 提供 SPICE model file（.lib），直接 include 就能模擬。

八、BJT 的小信號模型

混合 π 模型（精確）

       C
       │
       │
    [r_μ]   ────►◄─── V_BE 控制 g_m·v_be
       │
   B ──┼──[r_π]──┐
       │         │
   ────────[C_π]┐│      ──[C_μ]──
       │        ││
       E       [r_o]
       │
       │
       └──────────────

關鍵參數：

g_m

$$g_m = \frac{I_C}{V_T}$$

r_π

$$r_\pi = \frac{\beta}{g_m}$$

r_o

$$r_o = \frac{V_A}{I_C}$$

C_π（基-射電容）

擴散電容主導： $$C_\pi = g_m \tau_F + C_{je}$$

τ_F：順向渡越時間

C_µ（基-集電容）

空乏電容（BC 反向偏壓）： $$C_\mu = \frac{C_{\mu 0}}{(1 + V_{CB}/V_{bi})^m}$$

高頻特性

轉變頻率 f_T

電流增益 |β| 降到 1 的頻率：

$$f_T = \frac{g_m}{2\pi (C_\pi + C_\mu)}$$

→ 通常正比於 I_C（直到某個峰值後下降）。

最大振盪頻率 f_max

考慮功率增益的最高頻率：

$$f_{max} = \sqrt{\frac{f_T}{8 \pi r_b C_\mu}}$$

f_max 比 f_T 重要（射頻設計）。

九、BJT 的雜訊

主要雜訊來源

1. 散粒雜訊（Shot Noise）

DC 電流通過 PN 接面時：

$$\overline{i_n^2} = 2 q I \Delta f$$

2. 熱雜訊

來自 r_b（Base 電阻）：

$$\overline{v_n^2} = 4 k T r_b \Delta f$$

3. 1/f 雜訊（閃爍雜訊）

低頻時主導，與製程品質相關。

雜訊指數（NF）

低雜訊放大器（LNA）關鍵：

$$NF = 10 \log_{10}\left(\frac{SNR_{in}}{SNR_{out}}\right)$$

選 BJT 做 LNA 時，挑 NF < 1 dB 的高頻 BJT。

十、PNP 與 NPN 的對偶

PNP 的所有公式與 NPN 對偶（電流方向反、電壓符號反）：

特性	NPN	PNP
主要載子	電子	電洞
Emitter 接	較負	較正
主動區	V_BE > 0, V_BC < 0	V_BE < 0, V_BC > 0
I_C 方向	流入	流出
速度	較快	較慢（電洞遷移率低）

為什麼 NPN 比 PNP 多？

電子遷移率 ≈ 2.8 × 電洞遷移率，相同尺寸下 NPN 速度快、增益大、雜訊低。

但需要對稱電路（如推挽輸出、CMOS 對應）時，仍需要 PNP。

十一、現代 BJT 製程

標準雙極性（Bipolar）製程

老式製程，PNP 較差。

BiCMOS 製程

整合 BJT + CMOS： - BJT：低雜訊、高頻射頻部分 - CMOS：邏輯與密集數位

SiGe HBT（Heterojunction Bipolar Transistor）

Base 加入 Ge 形成異質接面： - f_T 可達數百 GHz - 用於：5G、毫米波、雷達

III-V HBT（GaAs/InP）

InP HBT 的 f_T 已超過 1 THz（實驗室）。用於高速光通訊、極高頻雷達。

十二、BJT 的歷史地位

雖然 MOSFET 主導現代數位 IC，BJT 在以下領域仍不可取代：

超低雜訊射頻：LNA（衛星、醫療磁振造影前端）
高速類比 IC：高速放大器、ADC 取樣
低 V_OS 運放：BJT 輸入的 OPAMP 偏移電壓低
音響：很多 hi-fi 設計仍用 BJT
電源管理：保護電路、電流鏡
異質接面：5G、雷達、毫米波

十三、本章總結

✅ 您應該深入理解：

[x] BJT 三層結構的設計邏輯（重 Emitter、薄 Base、大 Collector）
[x] α、β 的物理意義與彼此關係
[x] Early 效應對輸出阻抗的影響
[x] Ebers-Moll 與 Gummel-Poon 模型概念
[x] 小信號模型參數：g_m, r_π, r_o, C_π, C_µ
[x] f_T、f_max 的差別
[x] BJT 雜訊來源
[x] BJT 在現代電子的角色

自我檢測

為什麼 BJT 的 Base 必須做得薄？
α = 0.995 對應 β 多少？
Early 電壓 V_A = 100V 的 BJT 在 I_C = 1mA 時 r_o 多少？
為什麼 NPN 比 PNP 速度快？
SiGe HBT 的優勢是什麼？

解答

讓 Emitter 注入的電子在被 Base 復合掉之前快速通過，提高 α 與 β
β = 0.995/(1-0.995) = 199
r_o = 100/0.001 = 100 kΩ
電子遷移率比電洞快 2.8 倍，NPN 主要載子是電子
Base 加 Ge 形成異質接面，能提供更陡的能帶傾斜（accelerating field），使 f_T 達數百 GHz

05-MOSFET原理深入.md — MOSFET 內部物理。