第一步：填圖。最小項 \(= \{m_1, m_2, m_3\}\)：

第二步：圈群（兩個 2 格群，重疊在 \(m_3\)）。

• 右欄（\(m_1, m_3\)）：框內 \(A\) 有 0 有 1（消去）， \(B = 1\) 不變 \(\Rightarrow\) 項為 \(B\)；

• 下列（\(m_2, m_3\)）：\(B\) 有變（消去）， \(A = 1\) 不變 \(\Rightarrow\) 項為 \(A\)。

第三步：最簡式。 \[\boxed{f = A \lor B}\]

第四步：電路（1 個 OR 閘）。

驗算：\(A{=}0,B{=}0 \Rightarrow 0\) ✓；其餘三列皆 1 ✓。

第一步：填圖。最小項 \(= \{m_1, m_2\}\)：

第二步：圈群——圈不起來！兩個 1 在對角線上： \(m_1 (01)\) 與 \(m_2 (10)\) 差了兩個位元， 在卡諾圖上不相鄰（相鄰的定義是恰差一位）。 只能各自圈成 1 格的群，一個變數都消不掉。

第三步：最簡 SOP 就是原式。 \[\boxed{f = (\lnot A \land B) \lor (A \land \lnot B) = A \oplus B}\]

第四步：電路。用基本閘要 5 個（2 NOT + 2 AND + 1 OR）； 若允許 XOR 閘則 1 個就好。

驗算：\(01 \to 1\) ✓、\(10 \to 1\) ✓、\(00,11 \to 0\) ✓。

第一步：填圖。最小項 \(= \{m_0, m_2, m_4, m_6\}\)：

第二步：圈群（一個 4 格群，左右迴繞）。 四個 1 落在 \(BC = 00\) 與 \(BC = 10\) 兩個端欄—— 格雷碼下這兩欄左右相接，合成一個 \(2 \times 2\) 的群。 框內 \(A\) 有變（消去）、\(B\) 有變（消去）， 只有 \(C = 0\) 不變。

第三步：最簡式。\(4 = 2^2\) 格的群消掉 2 個變數， 三個變數只剩一個： \[\boxed{f = \lnot C}\] （道理也很直觀：偶數 \(\iff\) 最低位 \(C = 0\)，與高位無關。）

第四步：電路（1 個 NOT 閘）。

驗算：所有 \(C=0\) 的列輸出 1、\(C=1\) 的列輸出 0 ✓ （\(A\)、\(B\) 腳位留空不接）。

第一步：填圖。最小項 \(= \{m_3, m_5, m_6, m_7\}\)：

第二步：圈群（三個 2 格群，全部疊在 \(m_7\) 上）。

• \(\{m_3, m_7\}\)（\(BC{=}11\) 整欄）：\(A\) 消去 \(\Rightarrow B \land C\)；

• \(\{m_5, m_7\}\)（下列中間兩格）：\(B\) 消去 \(\Rightarrow A \land C\)；

• \(\{m_6, m_7\}\)（下列右端兩格）：\(C\) 消去 \(\Rightarrow A \land B\)。

沒有 4 格群可圈（四個 1 不構成矩形）， 且三個對子缺一不可：\(m_3\) 只有第一群蓋、 \(m_5\) 只有第二群、\(m_6\) 只有第三群——三者都是 必要質蘊涵項（essential prime implicant）。

第三步：最簡式。 \[\boxed{f = (A \land B) \lor (A \land C) \lor (B \land C)}\]

第四步：電路（3 AND \(+\) 2 OR \(= 5\) 個 2 輸入閘）。

驗算：恰一票（\(m_1,m_2,m_4\)）：三個 AND 都是 0 \(\Rightarrow f{=}0\) ✓；兩票（如 \(m_6\)：\(AB{=}1\)） \(\Rightarrow f{=}1\) ✓；三票全 1 ✓。

第一步：填圖。最小項 \(= \{m_0, m_4, m_5, m_7\}\)：

第二步：圈群——從「最挑剔」的 1 下手。

• \(m_0\,(000)\) 的相鄰格中只有 \(m_4\) 是 1 \(\Rightarrow\) 唯一的選擇是 \(\{m_0, m_4\}\)（\(BC{=}00\) 整欄）： \(A\) 消去 \(\Rightarrow \lnot B \land \lnot C\)（必要）；

• \(m_7\,(111)\) 的相鄰格中只有 \(m_5\) 是 1 \(\Rightarrow\) 唯一的選擇是 \(\{m_5, m_7\}\)：\(B\) 消去 \(\Rightarrow A \land C\)（必要）。

兩個必要群已把 \(m_4\)、\(m_5\) 一併蓋住——全圖覆蓋完成， 不需要第三個群（例如 \(\{m_4,m_5\} = A\lnot B\) 是質蘊涵項， 但多餘）。

第三步：最簡式。 \[\boxed{f = (\lnot B \land \lnot C) \lor (A \land C)}\]

第四步：電路（2 NOT \(+\) 2 AND \(+\) 1 OR \(= 5\) 閘）。

驗算：\(m_0\)：\(\lnot B \lnot C = 1\) ✓； \(m_5\,(101)\)：\(AC = 1\) ✓； \(m_6\,(110)\)：兩項皆 0 \(\Rightarrow\) 0 ✓； \(m_4\,(100)\)：\(\lnot B\lnot C = 1\) ✓。

第一步：填圖。最小項 \(= \{m_1, m_2, m_3, m_7\}\)：

第二步：圈群。沒有 4 格矩形；逐一檢查每個 1 的歸宿：

• \(m_1\) 只能和 \(m_3\) 成對（上列中間）：\(B\) 消去 \(\Rightarrow \lnot A \land C\)（必要）；

• \(m_2\) 只能和 \(m_3\) 成對（上列右端）：\(C\) 消去 \(\Rightarrow \lnot A \land B\)（必要）;

• \(m_7\) 只能和 \(m_3\) 成對（\(BC{=}11\) 整欄）：\(A\) 消去 \(\Rightarrow B \land C\)（必要）。

\(m_3\) 被三個群共用（它是全圖「樞紐」），三個對子缺一不可。

第三步：最簡式。 \[\boxed{f = (\lnot A \land C) \lor (\lnot A \land B) \lor (B \land C)}\]

第四步：電路——共用一個反相器！ \(\lnot A\) 出現在兩個乘積項裡，接線時只要一顆 NOT： 共 1 NOT \(+\) 3 AND \(+\) 2 OR \(= 6\) 閘。

驗算：\(m_5\,(101)\)：\(\lnot A C = 0\)、\(\lnot A B = 0\)、 \(BC = 0\) \(\Rightarrow\) 0 ✓；\(m_3\,(011)\)：三項全 1 \(\Rightarrow\) 1 ✓； \(m_7\,(111)\)：\(BC = 1\) ✓。

第一步：填圖。最小項 \(= \{m_0, m_1, m_2, m_5, m_6, m_7\}\) （0 反而只有兩個：\(m_3\)、\(m_4\)）：

第二步：圈群——發現「循環」。六個 1 圍成一圈， 每個 1 恰好有兩個相鄰的 1， 六個質蘊涵項（都是對子）首尾相扣： \[\lnot A \lnot B,\;\; \lnot B C,\;\; A C,\;\; A B,\;\; B \lnot C,\;\; \lnot A \lnot C.\] 沒有任何一個是必要的（每個 1 都有兩個群可選）！ 蓋滿六個 1 至少要 3 個對子，且必須「隔一個取一個」—— 恰有兩種取法：

• 解 1：\(\{m_0,m_1\}, \{m_5,m_7\}, \{m_2,m_6\}\) \(\Rightarrow f = \lnot A\lnot B \lor AC \lor B\lnot C\)；

• 解 2：\(\{m_0,m_2\}, \{m_1,m_5\}, \{m_6,m_7\}\) \(\Rightarrow f = \lnot A\lnot C \lor \lnot BC \lor AB\)。

\[\boxed{f = \lnot A\lnot B \lor AC \lor B\lnot C \;=\; \lnot A\lnot C \lor \lnot BC \lor AB \quad(\text{兩解同樣最簡})}\]

第四步：電路（取解 1；3 NOT \(+\) 3 AND \(+\) 2 OR）。

驗算（抽 \(m_3, m_4\) 兩個 0）： \(m_3\,(011)\)：\(\lnot A\lnot B{=}0\)、\(AC{=}0\)、\(B\lnot C{=}0\) \(\Rightarrow 0\) ✓；\(m_4\,(100)\)：三項皆 0 ✓。 再抽 \(m_0\)：\(\lnot A\lnot B = 1\) ✓。

第一步：填圖。最小項 \(= \{m_1, m_2, m_4, m_7\}\)：

第二步：圈群——棋盤格，全部孤立。 每個 1 的上下左右（含迴繞）全是 0： 任何兩個 1 之間漢明距離都是 2。 K-map 一格都合併不了，最簡 SOP 就是四個最小項： \[f = \lnot A\lnot B C \lor \lnot A B\lnot C \lor A\lnot B\lnot C \lor ABC\]

第三步：換個代數角度。把前兩項與後兩項分組提取： \[f = \lnot A(B \oplus C) \lor A\,\lnot(B \oplus C) = A \oplus B \oplus C.\] \[\boxed{f = A \oplus B \oplus C \quad(\text{奇同位})}\]

第四步：電路。SOP 直譯要 3 NOT \(+\) 8 AND（3 輸入項拆成 2 輸入）\(+\) 3 OR \(\approx 14\) 閘；用 XOR 只要 2 個閘：

驗算：\(m_7\,(111)\)：\(1\oplus1\oplus1 = 1\) ✓（三個 1 是奇數）； \(m_3\,(011)\)：\(0\oplus1\oplus1 = 0\) ✓。

第一步：填圖。最小項 \(= \{m_0, m_2, m_8, m_{10}\}\)—— 恰好是卡諾圖的四個角落：

第二步：圈群（一個 4 格群）。格雷碼讓 最左欄 \(\leftrightarrow\) 最右欄、最上列 \(\leftrightarrow\) 最下列 都相鄰，所以四個角其實是一個 \(2\times2\) 方塊。 框內 \(A\)、\(C\) 都有變（消去），\(B = 0\)、\(D = 0\) 不變。

第三步：最簡式。4 格消 2 個變數： \[\boxed{f = \lnot B \land \lnot D}\]

第四步：電路（2 NOT \(+\) 1 AND \(= 3\) 閘； 或 1 個 NOR 閘：\(\lnot B \land \lnot D = \lnot(B \lor D)\)）。

驗算：\(m_0\,(0000)\)、\(m_{10}\,(1010)\)：\(B{=}0,D{=}0 \Rightarrow 1\) ✓；\(m_5\,(0101)\)：\(B{=}1 \Rightarrow 0\) ✓。

第一步：填圖。最小項 \(= \{m_5, m_7, m_{13}, m_{15}\}\)—— 圖的正中央 \(2\times2\)：

第二步：圈群。一個 4 格方塊： 列（\(AB \in \{01,11\}\)）裡 \(A\) 有變、\(B=1\) 不變； 欄（\(CD \in \{01,11\}\)）裡 \(C\) 有變、\(D=1\) 不變。

第三步：最簡式。 \[\boxed{f = B \land D}\]

第四步：電路（1 個 AND 閘）。

驗算：16 列中恰好 \(B{=}1\) 且 \(D{=}1\) 的四列 （\(m_5,m_7,m_{13},m_{15}\)）輸出 1 ✓，其餘 0 ✓。

第一步：填圖。最小項 \(= \{m_0,\dots,m_3, m_8,\dots,m_{11}\} \cup \{m_{15}\}\)：

第二步：圈群。

• 8 格群（上下列迴繞）：\(AB{=}00\) 整列與 \(AB{=}10\) 整列相接；框內 \(A,C,D\) 都有變，只剩 \(B=0\) \(\Rightarrow \lnot B\)——\(2^3\) 格一口氣消 3 個變數；

• 孤 1 補對：\(m_{15}\,(1111)\) 不在大群裡， 它相鄰的 1 只有 \(m_{11}\,(1011)\)，成對後 \(B\) 消去 \(\Rightarrow A \land C \land D\)（必要）。

第三步：最簡式。 \[\boxed{f = \lnot B \lor (A \land C \land D)}\]

第四步：電路（1 NOT \(+\) 2 AND \(+\) 1 OR \(= 4\) 閘）。

驗算：\(m_9\,(1001)\)：\(\lnot B = 1\) ✓； \(m_{15}\)：\(ACD = 1\) ✓；\(m_{13}\,(1101)\)：\(B{=}1\) 且 \(C{=}0\) \(\Rightarrow\) 兩項皆 0 ✓。

第一步：填圖。最小項 \(= \{m_1, m_3, m_5, m_7, m_9\}\)：

第二步：圈群。

• 4 格群 \(\{m_1,m_3,m_5,m_7\}\)（左上 \(2\times2\)）： \(B,C\) 消去 \(\Rightarrow \lnot A \land D\)（\(m_5,m_7\) 只有它蓋， 必要）；

• 迴繞對 \(\{m_1, m_9\}\)（\(CD{=}01\) 欄的頭尾兩格， 上下相接）：\(A\) 消去 \(\Rightarrow \lnot B \land \lnot C \land D\) （\(m_9\) 的唯一夥伴是 \(m_1\)，必要）。

第三步：最簡式。 \[\boxed{f = (\lnot A \land D) \lor (\lnot B \land \lnot C \land D)}\]

第四步：電路。兩項都含 \(D\)，提取後 \(f = D \land \bigl(\lnot A \lor (\lnot B \land \lnot C)\bigr)\)： 3 NOT \(+\) 2 AND \(+\) 1 OR \(= 6\) 閘。

驗算：\(m_9\,(1001)\)：\(D{=}1\)、\(\lnot B\lnot C = 1\) \(\Rightarrow 1\) ✓；\(m_{11}\,(1011)\)：\(\lnot A = 0\)、 \(\lnot C = 0\) \(\Rightarrow 0\) ✓；\(m_7\,(0111)\)：\(\lnot A D = 1\) ✓。

第一步：填圖。最小項 \(= \{m_2, m_3, m_6, m_7, m_{10}, m_{11}\}\)：

第二步：圈群（兩個 4 格群，共用 \(m_2, m_3\)）。

• 上方 \(2\times2\)（\(AB\in\{00,01\}\)、\(CD\in\{11,10\}\)）： \(B,D\) 消去 \(\Rightarrow \lnot A \land C\) （\(m_6,m_7\) 只有它蓋，必要）；

• 上下迴繞 \(2\times2\)（\(AB\in\{00,10\}\)、\(CD\in\{11,10\}\)）： \(A,D\) 消去 \(\Rightarrow \lnot B \land C\) （\(m_{10},m_{11}\) 只有它蓋，必要）。

六個 1 無法圈成 8 格群（不成矩形），兩群即最簡。

第三步：最簡式。 \[\boxed{f = (\lnot A \land C) \lor (\lnot B \land C) = C \land \lnot(A \land B)}\]

第四步：電路。SOP 直譯要 5 閘； 提取 \(C\) 後 \(f = C \land \lnot(A \land B)\)， 用 1 NAND \(+\) 1 AND \(= 2\) 閘：

驗算：\(f = 1\) 需要 \(C{=}1\) 且「\(A,B\) 不同時為 1」： \(m_{14}\,(1110)\)：\(AB{=}11 \Rightarrow 0\) ✓； \(m_{10}\,(1010)\)：\(C{=}1\)、\(AB{\ne}11 \Rightarrow 1\) ✓； \(m_1\,(0001)\)：\(C{=}0 \Rightarrow 0\) ✓。

第一步：填圖。最小項 \(= \{m_2, m_3, m_5, m_7, m_{11}, m_{13}\}\)：

第二步：先鎖定必要群。沒有 4 格以上的矩形， 逐一問「這個 1 有哪些可成的對」：

• \(m_2\)：唯一相鄰的 1 是 \(m_3\) \(\Rightarrow \lnot A \lnot B C\)（必要，蓋 \(m_2,m_3\)）；

• \(m_{11}\)：唯一相鄰的 1 是 \(m_3\)（上下迴繞） \(\Rightarrow \lnot B C D\)（必要，蓋 \(m_{11},m_3\)）；

• \(m_{13}\)：唯一相鄰的 1 是 \(m_5\) \(\Rightarrow B \lnot C D\)（必要，蓋 \(m_{13},m_5\)）；

• 剩 \(m_7\) 未蓋：它可以配 \(m_5\)（\(\Rightarrow \lnot A B D\)） 或配 \(m_3\)（\(\Rightarrow \lnot A C D\)）——任選其一， 兩種都最簡。

第三步：最簡式（擇 \(\lnot A B D\)）。 \[\boxed{f = \lnot A \lnot B C \;\lor\; \lnot B C D \;\lor\; B \lnot C D \;\lor\; \lnot A B D}\] （把最後一項換成 \(\lnot A C D\) 亦為最簡。）

第四步：電路。用 3 輸入 AND 與 4 輸入 OR 畫骨架 （實作時各拆成兩顆 2 輸入閘即可）； \(\lnot A\)、\(\lnot B\)、\(\lnot C\) 各一顆反相器共用：

驗算：\(N{=}9\,(1001)\)：四項依序 \(\lnot A{=}0\)✗、\(C{=}0\)✗、\(B{=}0\)✗、\(\lnot A{=}0\)✗ \(\Rightarrow 0\) ✓（9 不是質數）； \(N{=}13\,(1101)\)：\(B\lnot C D = 1\) ✓； \(N{=}15\,(1111)\)：\(\lnot A{=}0\)、\(\lnot B{=}0\)、\(\lnot C{=}0\) \(\Rightarrow 0\) ✓。

第一步：分層填圖。5 變數 \(= 2^5 = 32\) 格， 拆成兩張 \(4\times4\) 圖：左層 \(A=0\)（\(m_0\)–\(m_{15}\)）、 右層 \(A=1\)（\(m_{16}\)–\(m_{31}\)，層內編號減 16）。 兩層同位置的格子互為相鄰（只差 \(A\)）。

第二步：圈群（跨層思考）。

• 跨兩層的 8 格群：兩層的相同位置各有一個 「\(BC{=}00\) 列與 \(BC{=}10\) 列、\(DE\in\{11,10\}\) 欄」 的迴繞 \(2\times2\)（\(m_2,m_3,m_{10},m_{11}\) 層內編號）。 上下疊起來共 8 格：\(A,B,E\) 都有變， 只剩 \(C{=}0\)、\(D{=}1\) \(\Rightarrow \lnot C \land D\) （消 3 個變數！）；

• \(A=1\) 層內的 4 格方塊 \(\{m_9,m_{11},m_{13},m_{15}\}\)（層內編號； \(BC\in\{10,11\}\)、\(DE\in\{01,11\}\)）：\(C,D\) 消去， 加上整群都在 \(A{=}1\) 層 \(\Rightarrow A \land B \land E\)。

\(m_{29}, m_{31}\) 只有第二群能蓋、\(m_2\) 等只有第一群能蓋， 兩群皆必要且已蓋滿全部 11 個 1。

第三步：最簡式。 \[\boxed{f = (\lnot C \land D) \lor (A \land B \land E)}\]

第四步：電路（1 NOT \(+\) 3 AND \(+\) 1 OR \(= 5\) 閘）。

驗算：\(m_{27}\,(11011)\)：\(C{=}0,D{=}1 \Rightarrow\) 第一項 \(=1\) ✓（它同時也滿足 \(ABE\)——重疊無妨）； \(m_{29}\,(11101)\)：\(C{=}1\) 使第一項 \(=0\)， 但 \(A{=}B{=}E{=}1 \Rightarrow 1\) ✓； \(m_{17}\,(10001)\)：\(D{=}0\) 且 \(B{=}0\) \(\Rightarrow 0\) ✓。