數位電路是現代計算的基石。本章從二進位開始，建立完整的數位邏輯框架。

一、二進位（Binary）

為什麼用二進位？

  • 電子元件最容易區分兩個狀態：「有電 vs 無電」
  • 抗雜訊：只要區分 0 與 1，雜訊容忍度大
  • 邏輯運算簡單

進位制

進位 字元 範例
二進位（Binary） 0, 1 1101₂
八進位（Octal） 0–7 15₈
十進位（Decimal） 0–9 13
十六進位（Hex） 0–9, A–F 0x0D

轉換

二進位 → 十進位：

$$1101_2 = 1 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 = 13$$

二進位 → 十六進位：每 4 位一組：1101 = D = 0x0D

表示範圍

n 位：可表示 2ⁿ 個值

位數 範圍
8 bit 0–255（無號）/ -128 到 127（有號）
16 bit 0–65535 / -32768 到 32767
32 bit 0 – 4.29 × 10⁹
64 bit 0 – 1.84 × 10¹⁹

帶號表示

  • 符號-絕對值：MSB 是符號（少用）
  • 2 的補數（Two's Complement）：主流
  • 正數：直接二進位
  • 負數：反相 + 1
  • 範例：-5 (8-bit) = ~00000101 + 1 = 11111011

二、邏輯閘（Logic Gates）

基本閘

閘 符號 真值表 布林式
NOT（反相） ─▷○─ 0→1, 1→0 Y = !A
AND ─D─ A·B Y = AB
OR =D= A+B Y = A+B
NAND ─D○─ !(A·B) Y = !(AB)
NOR =D○= !(A+B) Y = !(A+B)
XOR =⫶D= 不同為 1 Y = A⊕B
XNOR =⫶D○= 相同為 1 Y = !(A⊕B)

真值表（Truth Table）

A B AND OR NAND XOR
0 0 0 0 1 0
0 1 0 1 1 1
1 0 0 1 1 1
1 1 1 1 0 0

通用閘

NAND 或 NOR 都可以實現所有邏輯，稱為「通用閘」。 所以早期 IC 大量是 NAND（74LS00）。

三、布林代數（Boolean Algebra）

基本定律

定律 表達式
交換律 A + B = B + A; A·B = B·A
結合律 (A+B)+C = A+(B+C)
分配律 A·(B+C) = AB + AC
恆等律 A + 0 = A; A·1 = A
互補律 A + !A = 1; A·!A = 0
吸收律 A + AB = A; A(A+B) = A

笛摩根定律（DeMorgan's Theorems）

$$!(A \cdot B) = !A + !B$$ $$!(A + B) = !A \cdot !B$$

反相分配進去，AND/OR 交換。

化簡實例

化簡：F = A·!B + A·B + !A·B

$$F = A(!B + B) + !A B = A + !A B = A + B$$

四、卡諾圖（Karnaugh Map）

化簡布林函數的視覺工具。

2 變數 K-Map

     B=0  B=1
A=0 [   ][   ]
A=1 [   ][   ]

3 變數

        BC=00 BC=01 BC=11 BC=10
   A=0 [    ][    ][    ][    ]
   A=1 [    ][    ][    ][    ]

注意：BC 的順序是 00, 01, 11, 10（Gray Code，相鄰只差 1 位）。

4 變數

        CD=00 CD=01 CD=11 CD=10
  AB=00 [    ][    ][    ][    ]
  AB=01 [    ][    ][    ][    ]
  AB=11 [    ][    ][    ][    ]
  AB=10 [    ][    ][    ][    ]

化簡規則

把相鄰的 1 圈起來（2、4、8 個一組）。 組數越大，化簡越多。 邊緣繞回（4 個角是相鄰）。

範例

F(A,B,C,D) = Σ(0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14)

填表後可化簡為：F = !B·!C + !A·D' + ... （略）

五、CMOS 數位邏輯

CMOS 反相器

        V_DD
         │
        ─┤PMOS
         │
  IN ────┤
         │
        ─┤NMOS
         │
        GND

A=0 → PMOS 開、NMOS 關 → OUT = V_DD = 1 A=1 → PMOS 關、NMOS 開 → OUT = 0

CMOS NAND

        V_DD
       ┌──┴──┐
       │     │
      ─┤P1  ─┤P2
       │     │
       └─┬───┘
         │
         ├─── OUT
         │
      ─┬─┐
      ─┤N1
       │
      ─┤N2
       │
      GND

A → P1, N1
B → P2, N2

當 A=B=1 時兩 NMOS 都導通 → OUT = 0 其他情況：OUT = 1

→ NAND 邏輯。

數位電源規範

邏輯族 V_DD 邏輯 H 範圍 邏輯 L 範圍
5V CMOS 5V > 3.5V < 1.5V
3.3V CMOS 3.3V > 2V < 0.8V
1.8V CMOS 1.8V > 1.2V < 0.6V
LVDS 差動 350 mV — —

雜訊邊際（Noise Margin）

訊號被視為 H/L 的「緩衝區」。 - NMH = V_OH(min) - V_IH(min) - NML = V_IL(max) - V_OL(max)

雜訊邊際大 → 抗雜訊強。

六、邏輯族（Logic Families）

TTL（Transistor-Transistor Logic）

老技術，BJT 為主： - 7400 系列（標準）：1970s - 74LS（Low Power Schottky）：低耗 - 74AS、74F（更快）

CMOS

  • 4000 系列（早期 CMOS，慢、高雜訊邊際）
  • 74HC（High-Speed CMOS）：替代 LS
  • 74AHC、74LVC、74AVC（更快、低電壓）

其他

  • ECL（Emitter Coupled Logic）：超高速但耗能
  • LVDS（Low Voltage Differential Signaling）：差動，現代高速
  • LVCMOS、LVTTL：低電壓 CMOS

電平轉換（Level Shifter）

不同電壓系統間需要轉換： - 雙向：BSS138、TXS0108E - 單向：74LVC1T45 - I²C 專用：PCA9306

七、組合邏輯（Combinational Logic）

輸出只依當前輸入（無記憶）。

1. 多工器（Multiplexer, MUX）

選擇多個輸入中的一個：

        Sel
         │
        ┌▽┐
   In0─→│ │
   In1─→│ ├─→ Out
   In2─→│ │
   In3─→│ │
        └─┘
        2-bit Sel

n 個 MUX：log₂(n) 位選擇線。

2. 解多工器（Demultiplexer）

反向：1 個輸入分配到多個輸出。

3. 解碼器（Decoder）

n 個輸入 → 2ⁿ 個輸出（每次只激活一個）。 範例：3-to-8 decoder（74HC138）

4. 編碼器（Encoder）

反向。優先編碼器（priority encoder）處理多輸入同時激活。

5. 加法器（Adder）

半加法器（Half Adder）

A + B → S, C_out S = A ⊕ B C_out = A · B

全加法器（Full Adder）

A + B + C_in → S, C_out S = A ⊕ B ⊕ C_in C_out = A·B + C_in·(A ⊕ B)

多位元加法器

8 個 FA 串聯 → 8-bit ripple carry adder（RCA）。 但 carry 傳遞慢，現代用 carry-look-ahead（CLA）加速。

6. 比較器

A > B, A = B, A < B 三個輸出。

八、組合邏輯設計流程

1. 寫真值表

依需求列出所有輸入組合與期望輸出。

2. 化簡（K-Map 或布林代數）

3. 畫邏輯圖

4. 用 IC 實現

74xx 系列、CPLD、FPGA。

範例：4-to-1 MUX

Sel1 Sel0 Out
0 0 I0
0 1 I1
1 0 I2
1 1 I3

布林：

$$\text{Out} = !S_1 !S_0 I_0 + !S_1 S_0 I_1 + S_1 !S_0 I_2 + S_1 S_0 I_3$$

可用一系列 AND-OR 實現，或用 74HC153 IC。

九、本章總結

✅ 您應該掌握：

  • [x] 二進位、十六進位、轉換
  • [x] 7 個基本邏輯閘
  • [x] 布林代數定律與化簡
  • [x] 卡諾圖
  • [x] CMOS 邏輯實現
  • [x] 邏輯族與電平轉換
  • [x] 組合邏輯：MUX、Decoder、Adder

下一章

07-組合邏輯.md — 組合邏輯深入。