第一步：從真值表讀出兩個輸出的布林式。

逐欄觀察：

• \(S\) 在「恰好一個輸入為 1」時為 1——這正是 XOR： \(S = A \oplus B\)；

• \(C_{out}\) 只在兩個輸入都為 1 時為 1——這是 AND： \(C_{out} = A \land B\)。

直覺：一位元加法 \(A + B\) 的結果最大是 \(1+1=2=10_2\)—— \(S\) 是結果的個位、\(C_{out}\) 是進位。

半加器電路（2 個閘）：

Logisim 操作提示：若閘的清單沒有 XOR，可用 \(S = (A \lor B) \land \lnot(A \land B)\) 展開 （OR、AND、NOT 各一，加上共用的 AND 共 4 個閘）， 但 Logisim 的 Gates 函式庫本來就有 XOR，直接用即可 （記得屬性面板把輸入數設成 2）。

第二步：4 位元增量器。

「加 1」= 把 4 位元輸入 \(x_3x_2x_1x_0\) 與常數 \(0001\) 相加。因為第二個運算元只有最低位是 1， 不需要完整加法器——半加器鏈就夠：

• 第 0 位：\(x_0 + 1\) → 半加器 HA\(_0\)（輸入 \(x_0\) 與常數 1）；

• 第 \(i\) 位（\(i \ge 1\)）：\(x_i +\) 前一級的進位 → HA\(_i\)；

• 每級的 \(S\) 就是輸出位 \(s_i\)，\(C_{out}\) 餵給下一級。

Logisim 組裝要點：

1. 輸入腳位屬性 Data Bits = 4；接一個 splitter （Fan Out = 4，Bit Width In = 4）拆成 4 條 1 位元線；

2. 放 4 份半加器子電路；常數腳位（Constant，值 1）接 HA\(_0\) 的第二輸入；

3. 另一個 splitter 反向使用（4 條 1 位元合成 4 位元） 接到 4 位元輸出腳位；

4. 最高位的 \(C_{out}\) 懸空即可（\(1111 + 1\) 會繞回 \(0000\) ——這正是模 \(2^4\) 算術，也是 2 補數運作的基礎）。

驗證：輸入 \(0111\)（7）應輸出 \(1000\)（8）； 輸入 \(1111\)（15）應輸出 \(0000\)（繞回）。

第一步：讀出布林式。

\(S\) 在「1 的個數為奇數」時為 1（第 2、3、5、8 列）： \[S = A \oplus B \oplus C_{in}.\] \(C_{out}\) 在「至少兩個輸入為 1」時為 1（第 4、6、7、8 列）。 標準化簡： \[C_{out} = (A \land B) \lor \bigl(C_{in} \land (A \oplus B)\bigr).\] （也可寫成 \(AB + AC_{in} + BC_{in}\)；上式的好處是能重用 半加器結構。）

第二步：用兩個半加器＋一個 OR 組裝（最經濟的做法）。

把加法拆成兩步：先算 \(A+B\)（半加器 1）， 再把其和與 \(C_{in}\) 相加（半加器 2）； 兩步只要任一步產生進位，\(C_{out}\) 就是 1 （兩步不可能同時進位，OR 即可）：

閘數統計：每個半加器 2 個閘（XOR、AND）＋ 1 個 OR \(= 2\times2+1 = \textbf{5 個閘}\)。 在 Logisim 中：放兩份半加器子電路＋一個 OR 閘即可—— 這正是「子電路」威力的示範。

第三步：4 位元漣波進位加法器（ripple-carry adder）。

四份全加器子電路串成一列， 進位像漣波一樣從低位傳向高位：

組裝要點與增量器相同：兩個 4 位元輸入各接一個 splitter、 輸出經 splitter 合併，另加 1 位元 \(C_{in}\) 輸入腳位與 \(C_{out}\) 輸出腳位。 驗證建議：\(3+5=8\)（\(0011+0101=1000\)）、 \(9+9=18=10010_2\)（輸出 \(0010\)、\(C_{out}=1\)——溢位可見）、 \(C_{in}=1\) 時 \(0+0\) 應輸出 \(0001\)。

回憶第一週的 NAND 建構塊： \[\begin{align*} \lnot A &= A \barwedge A, & A \land B &= (A \barwedge B) \barwedge (A \barwedge B),\\ A \lor B &= (A \barwedge A) \barwedge (B \barwedge B), & A \oplus B &= \text{4 個 NAND（見下）}. \end{align*}\]

半加器：5 個 NAND。 XOR 的 4-NAND 經典結構，關鍵是第一個 NAND 的輸出 \(N_1 = A \barwedge B\) 可同時用來造 \(C_{out}\)： \[\begin{align*} N_1 &= A \barwedge B,\\ N_2 &= A \barwedge N_1, \quad N_3 = B \barwedge N_1,\\ S &= N_2 \barwedge N_3 = A \oplus B,\\ C_{out} &= N_1 \barwedge N_1 = \lnot N_1 = A \land B. \end{align*}\]

為什麼 4 個 NAND 就是 XOR？展開驗證： \(N_2 = \lnot(A \land \lnot(AB)) = \lnot A \lor AB\)、 \(N_3 = \lnot B \lor AB\)， \(S = \lnot(N_2 \land N_3)\)；代入化簡得 \(S = A\bar B + \bar A B\) ✓（或直接列真值表驗證四列）。

全加器：9 個 NAND。 沿用第 2 節「兩個半加器＋OR」的結構， 但把 OR 也化成 NAND。妙處在於：半加器內部 \(C_{out} = \lnot N_1\)，而 \(X \lor Y = \lnot X \barwedge \lnot Y\)—— 所以直接拿兩個半加器的 \(N_1\)（尚未反相的進位） NAND 起來就是 \(C_{out}\)，連反相器都省了： \[\begin{align*} \text{第一級（4 個）：} & P = A \oplus B, \quad N_1 = A \barwedge B\\ \text{第二級（4 個）：} & S = P \oplus C_{in}, \quad N_5 = P \barwedge C_{in}\\ \text{進位（1 個）：} & C_{out} = N_1 \barwedge N_5 = (A \land B) \lor (P \land C_{in})\ \text{✓} \end{align*}\] 合計 \(4 + 4 + 1 = \textbf{9 個 NAND}\)。

NAND 板實作要點：

• 板上共 16 個 NAND（4 顆晶片 \(\times\) 4 閘）—— 半加器用 5 個、全加器用 9 個，都放得下；

• 先規劃再接線：把 XOR 塊 1 配置在晶片 1、 XOR 塊 2 在晶片 2、進位 NAND 用晶片 3， 訊號從左往右流，可大幅減少跨板飛線；

• 輸入用按鈕（按下 = 1）：半加器用 2 顆、全加器用 3 顆； 輸出直接讀對應 NAND 的 LED；

• 未接線的輸入因下拉電阻預設為 0——測試時要留意；

• 串接兩塊板（選做）：把本板全加器的 \(C_{out}\) LED 引腳接到對方板全加器的 \(C_{in}\) 輸入， 即得 2 位元漣波加法器。兩板必須共用同一 USB 電源 （用 USB 分接器）——否則兩板的邏輯高低電位參考點 （接地）不同，訊號無法正確判讀。

2-to-1 多工器。輸入 \(A\)、\(B\) 與選擇線 \(S\) （\(S=0\) 選 \(A\)、\(S=1\) 選 \(B\)）。真值表（8 列）：

從 DNF 取 1 的列化簡（或直接由「\(S=0\) 取 \(A\)、\(S=1\) 取 \(B\)」 的語意寫出）： \[\boxed{out = (\lnot S \land A) \lor (S \land B)}\] 3 種閘、共 4 個（NOT、AND\(\times 2\)、OR）：

1-to-2 解多工器。輸入 \(in\) 與選擇線 \(S\) （\(S=0\) 送到 \(out_0\)、\(S=1\) 送到 \(out_1\)； 沒被選中的輸出為 0）：

\[\boxed{out_0 = \lnot S \land in, \qquad out_1 = S \land in}\]

觀察：MUX 與 DEMUX 是「鏡像」—— MUX 用 AND 閘擋住沒被選中的輸入（強制為 0）再 OR 合併； DEMUX 用 AND 閘擋住沒被選中的輸出。 Logisim 驗證：窮舉所有輸入組合 （MUX 8 組、DEMUX 4 組），對照真值表。

整體結構：兩條前處理管線 ＋ 運算選擇 ＋ 後處理。

每一級的細節（全部用「多工器做決策」的同一招）：

1. zx 級：4 位元 MUX，輸入 0 接 \(x\)、 輸入 1 接常數 \(0000\)，Select 接 \(zx\)；

2. nx 級：4 位元 MUX，輸入 0 接上一級輸出、 輸入 1 接其 NOT（4 位元 NOT 閘），Select 接 \(nx\)；

3. zy／ny 級：與 1、2 完全相同，作用在 \(y\)；

4. f 級：AND（4 位元）與你的 4 位元加法器 （\(C_{in}=0\)，\(C_{out}\) 懸空）同時計算， MUX 用 \(f\) 選擇哪個結果通過——輸入 0 接 AND、 輸入 1 接加法器；

5. no 級：MUX 在「原樣」與「NOT」之間選擇， Select 接 \(no\)。

共 6 顆 MUX ✓。注意順序：先歸零、再取反 （所以 \(zx=nx=1\) 得到 \(\lnot 0 = 1111\)，不是 0）； 輸出端先運算、再取反。

zr 與 ng：

• \(ng\)：2 補數的負數 = MSB 為 1， 所以 \(ng = out_3\)——用 splitter 拆出最高位直接接出， 零個閘；

• \(zr\)：\(out = 0000\) 表示「所有位都是 0」， 即 \(zr = \lnot(out_3 \lor out_2 \lor out_1 \lor out_0)\) ——三個雙輸入 OR 串成樹再接一個 NOT（4 個閘）。

測試：把 18 列控制位逐一撥入， 用幾組 \(x\)、\(y\) 值（如 \(x=0011=3\)、\(y=0101=5\)） 對照表中預期輸出。例如 \(x{+}y\) 列應得 \(1000=8\)、 \(x{-}y\) 列應得 \(1110=-2\)、\(x\&y\) 列應得 \(0001\)。

方法總覽（8 位元一律先化成位元組再轉換）：

• 二 \(\to\) 十六：從右往左每 4 位一組查表； 二 \(\to\) 八：每 3 位一組（不足左補 0）；

• 八／十六 \(\to\) 二：每個數字獨立展開成 3／4 個位元；

• 二 \(\to\) 十：MSB 為 0 直接按權重加總； MSB 為 1 且採 2 補數時，值 \(=\) 無號值 \(- 256\) （或：取反加一得絕對值）；

• 負十進位 \(\to\) 二：先寫出絕對值、再取反加一。

完整答案表（粗體為題目給定；十進位欄以 8 位元 2 補數解讀，括號內為無號值）：

代表性的完整推導（每類示範一題，其餘同法）：

第 1 題 \(10101101_2\)：

• 十六進位：\(\underbrace{1010}_{A}\underbrace{1101}_{D} \Rightarrow AD\)；

• 八進位：左補 0 成 9 位 \(\underbrace{010}_{2}\underbrace{101}_{5}\underbrace{101}_{5} \Rightarrow 255_8\)；

• 十進位：MSB \(=1\)，是負數。 無號值 \(= 128+32+8+4+1 = 173\)， 2 補數值 \(= 173 - 256 = \mathbf{-83}\)。 驗算：取反 \(01010010=82\)、加一 \(=83\)，故 \(-83\) ✓。

第 4 題 \(205_8\)：每個八進位數字展開 3 位： \(2{\to}010\)、\(0{\to}000\)、\(5{\to}101\)， 拼起來 \(010000101\)，取低 8 位 \(= 10000101_2\)。 十六進位：\(1000\,0101 \Rightarrow 85\)。 十進位：無號 \(128+4+1 = 133\)；以 2 補數解讀 \(133-256 = \mathbf{-123}\)。

第 8 題 \(-3_{10}\)：\(3 = 00000011\)； 取反 \(11111100\)；加一 \(\mathbf{11111101}\)。 十六進位 \(1111\,1101 = FD\)； 八進位 \(011\,111\,101 = 375_8\)。 （快速驗算：\(-1 = 11111111\)、\(-2 = 11111110\)、 \(-3 = 11111101\)——從全 1 倒著數。）

第 9 題 \(-84_{10}\)：\(84 = 64+16+4 = 01010100\)； 取反 \(10101011\)；加一 \(\mathbf{10101100}\)。 十六 \(= AC\)、八 \(= 254_8\)。

第 10 題 \(92_{16}\)：\(9{\to}1001\)、\(2{\to}0010\) \(\Rightarrow 10010010_2\)。八進位 \(010\,010\,010 = 222_8\)。 十進位：無號 \(128+16+2 = 146\)；2 補數 \(146-256 = \mathbf{-110}\)。